Tema 3

La metrología —la ciencia de la medida— constituye el fundamento epistemológico de toda la física y la química. Medir es el acto por el que la ciencia se hace cuantitativa y contrastable: sin magnitudes bien definidas, sin un sistema de unidades universal y sin una evaluación honesta de la incertidumbre, ningún resultado experimental sería comparable ni reproducible. Este tema, situado en el bloque introductorio del temario, establece el lenguaje común sobre el que descansan todos los demás: qué es una magnitud, cómo se cuantifica, con qué unidades y con qué grado de confianza.

Su importancia didáctica es doble. Por un lado, es un contenido transversal que impregna cualquier práctica de laboratorio y cualquier problema numérico. Por otro, encierra ideas de gran calado conceptual —el carácter convencional de las unidades, la diferencia entre exactitud y precisión, la imposibilidad de una medida sin error— que el alumnado debe interiorizar desde el primer curso. Como sintetizó Lord Kelvin, «cuando puedes medir aquello de lo que hablas y expresarlo con números, sabes algo acerca de ello». A esa afirmación conviene añadir hoy una cautela moderna: toda medida es incompleta si no se acompaña de su incertidumbre.

1. Magnitudes físicas y químicas

Una magnitud es toda propiedad de un sistema físico o químico que puede medirse, es decir, a la que puede asignarse un valor numérico acompañado de una unidad. No son magnitudes las cualidades que solo admiten ordenación o clasificación (dureza según Mohs, color) sin una escala cardinal. Medir una magnitud es compararla con otra de su misma especie tomada como unidad, y el resultado es el número de veces que la unidad está contenida en la magnitud medida.

Clasificación según su carácter direccional

• Magnitudes escalares: quedan completamente determinadas por un número y su unidad. Ejemplos: masa, tiempo, temperatura, energía, carga eléctrica, cantidad de sustancia.
• Magnitudes vectoriales: requieren además dirección, sentido y punto de aplicación. Ejemplos: velocidad, fuerza, campo eléctrico, momento lineal. Se operan con el álgebra vectorial.

Existen entes de rango superior, los tensores (por ejemplo, el tensor de esfuerzos o el de inercia), que generalizan esta idea a magnitudes con varias direcciones asociadas.

Magnitudes fundamentales y derivadas

Un pequeño conjunto de magnitudes se elige por convenio como fundamentales (o de base) y a partir de ellas se definen todas las demás, las derivadas, mediante relaciones físicas. El SI adopta siete magnitudes fundamentales:

Toda magnitud derivada posee una ecuación de dimensiones que expresa su dependencia de las fundamentales como un monomio de potencias:

Por ejemplo, $[v] = \mathrm{L\,T^{-1}}$, $[F] = \mathrm{M\,L\,T^{-2}}$ y $[E] = \mathrm{M\,L^{2}\,T^{-2}}$. El análisis dimensional —cuyo desarrollo sistemático se debe en buena parte a J. C. Maxwell— es una herramienta potente: el principio de homogeneidad exige que ambos miembros de toda ecuación física tengan las mismas dimensiones. Así puede comprobarse la coherencia de una fórmula: en $v^2 = v_0^2 + 2\,a\,x$, se cumple $\mathrm{L^2\,T^{-2}} = \mathrm{L\,T^{-2}\cdot L} = \mathrm{L^2\,T^{-2}}$.

Magnitudes extensivas e intensivas

Otra clasificación relevante, sobre todo en química y termodinámica, atiende a cómo varían al dividir el sistema:

• Extensivas: dependen de la cantidad de materia (masa, volumen, energía, cantidad de sustancia). Son aditivas.
• Intensivas: no dependen del tamaño del sistema (densidad, temperatura, presión, concentración, índice de refracción). El cociente de dos extensivas es intensivo: la densidad $\rho = m/V$ es un ejemplo clásico.

Magnitudes propiamente químicas

La química aporta al SI su magnitud fundamental específica: la cantidad de sustancia, que cuantifica el número de entidades elementales (átomos, moléculas, iones) presentes en una muestra. Se relaciona con el número de entidades $N$ y con la masa $m$ mediante la constante de Avogadro $N_A$ y la masa molar $M$:

De ella derivan magnitudes esenciales como la concentración molar $c = n/V$, la molalidad, la fracción molar o el volumen molar. La introducción de la cantidad de sustancia, ligada históricamente a la hipótesis de Avogadro (1811), permitió pasar del recuento imposible de partículas individuales a una magnitud macroscópica manejable, y es la clave de toda la estequiometría.

2. Sistema Internacional de Unidades

Una unidad es un valor de referencia de una magnitud, fijado por convenio. Un sistema de unidades es un conjunto coherente de unidades base y derivadas. El Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado por la 11.ª Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1960 y gestionado por el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), es hoy el sistema legal en España y en la práctica totalidad del mundo. Deriva del sistema métrico decimal nacido de la Revolución Francesa.

Las siete unidades base

La redefinición de 2019: unidades ancladas a constantes fundamentales

El hito metrológico más importante de las últimas décadas es la revisión del SI que entró en vigor el 20 de mayo de 2019. Con ella, las siete unidades base dejaron de depender de artefactos materiales o de propiedades atómicas concretas y pasaron a definirse fijando el valor numérico exacto de siete constantes fundamentales de la naturaleza. Con esta reforma desapareció el último patrón físico, el prototipo internacional del kilogramo custodiado en Sèvres.

De este modo, por ejemplo, el segundo queda definido por la frecuencia de la transición hiperfina del cesio-133; el metro, por la distancia que recorre la luz en $1/299\,792\,458$ de segundo; el kilogramo, a través del valor fijado de $h$ (materializado con la balanza de Kibble); y el mol se define como la cantidad de sustancia que contiene exactamente $6{,}022\,140\,76\times10^{23}$ entidades elementales. La ventaja es que estas definiciones son universales, invariables en el tiempo y reproducibles en cualquier laboratorio con la tecnología adecuada.

Unidades derivadas, coherencia y prefijos

Las unidades derivadas se obtienen como productos de potencias de las base, sin factores numéricos: el sistema es coherente. Muchas reciben nombre propio: newton ($\mathrm{N = kg\,m\,s^{-2}}$), julio ($\mathrm{J = N\,m = kg\,m^{2}\,s^{-2}}$), pascal ($\mathrm{Pa = N\,m^{-2}}$), watio, culombio, voltio, hercio, etc. Para expresar valores muy grandes o muy pequeños se emplean los prefijos decimales normalizados (de yocto, $10^{-24}$, a yotta, $10^{24}$; ampliados en 2022 con quecto/ronto y quetta/ronna). Es incorrecto mezclar el prefijo con la unidad base del kilogramo: se escribe $\mathrm{mg}$, no $\mu\mathrm{kg}$.

3. La medida

Medir es determinar el valor de una magnitud comparándola con su unidad mediante un instrumento de medida. La medida puede ser:

• Directa: se obtiene por comparación inmediata con el patrón o leyendo directamente el instrumento (longitud con una regla, masa con una balanza).
• Indirecta: la magnitud se calcula a partir de otras medidas directas mediante una relación física (la densidad a partir de masa y volumen; la velocidad a partir de espacio y tiempo).

Características de los instrumentos

Todo instrumento se caracteriza por una serie de cualidades metrológicas que condicionan la calidad de la medida:

• Sensibilidad: cociente entre la variación de la lectura y la variación de la magnitud que la provoca. A mayor sensibilidad, mayor respuesta ante pequeños cambios.
• Resolución o apreciación: la menor variación de la magnitud que el instrumento puede distinguir; suele coincidir con el valor de su división más pequeña.
• Exactitud (accuracy): proximidad entre el valor medido y el valor verdadero (o convencionalmente verdadero) de la magnitud.
• Precisión (precision): grado de concordancia entre medidas repetidas en las mismas condiciones, con independencia de lo cerca que estén del valor verdadero.
• Rango o campo de medida, fidelidad y rapidez completan el cuadro.

La distinción entre exactitud y precisión es conceptualmente crucial y suele ilustrarse con la analogía de la diana: un instrumento puede ser preciso (disparos agrupados) pero inexacto (lejos del centro) si tiene un error sistemático; lo ideal es que sea exacto y preciso a la vez.

Patrones y trazabilidad

La fiabilidad de una medida exige que el instrumento esté calibrado frente a un patrón, y este a su vez frente a otro de rango superior, formando una cadena ininterrumpida de comparaciones —la trazabilidad— que termina en la realización de las unidades del SI. En España, el Centro Español de Metrología (CEM) custodia los patrones nacionales. Gracias a la redefinición de 2019, los patrones primarios son ya realizaciones de las definiciones basadas en constantes, no objetos materiales.

4. Métodos de estimación de la incertidumbre

Ninguna medida es exacta: toda medida lleva asociada una incertidumbre que acota el intervalo dentro del cual cabe esperar, con cierta probabilidad, el valor de la magnitud. Un resultado sin su incertidumbre está incompleto. Se expresa siempre en la forma:

Tipos de errores

• Errores sistemáticos: se repiten con el mismo signo y magnitud; se deben a defectos del instrumento (mal calibrado, error de cero), del método o del observador. Afectan a la exactitud y, una vez identificados, pueden corregirse.
• Errores aleatorios o accidentales: fluctúan al azar en torno al valor medio por causas incontrolables (pequeñas variaciones ambientales, límites de apreciación). Afectan a la precisión; no se eliminan, pero se acotan mediante tratamiento estadístico. Siguen habitualmente una distribución normal o de Gauss, cuyo estudio del error debemos en gran medida a Carl Friedrich Gauss.

Conviene distinguir el error —diferencia (idealmente inaccesible) respecto al valor verdadero— de la incertidumbre —parámetro estadístico que caracteriza la dispersión de los valores razonablemente atribuibles a la magnitud—. La terminología moderna (GUM, VIM) prefiere hablar de incertidumbre.

Error absoluto y error relativo

El error absoluto tiene las unidades de la magnitud; el error relativo es adimensional y suele expresarse en tanto por ciento. El error relativo permite comparar la calidad de medidas de magnitudes distintas: un error de $1\ \mathrm{cm}$ es despreciable al medir un edificio, pero enorme al medir un tornillo.

Incertidumbre en medidas directas

Cuando se realiza una sola medida, la incertidumbre se estima a partir de la resolución del instrumento (por ejemplo, la mitad o la totalidad de su división mínima).

Cuando se repite la medida $n$ veces, se procede estadísticamente. El mejor estimador del valor de la magnitud es la media aritmética:

La dispersión de los datos se cuantifica con la desviación típica de la muestra:

y la incertidumbre de la media —la incertidumbre típica de tipo A, evaluada por métodos estadísticos según la GUM— es la desviación típica de la media:

que disminuye al aumentar el número de repeticiones. Junto a ella se evalúa la incertidumbre de tipo B, procedente de otras fuentes (resolución del instrumento, certificado de calibración, especificaciones del fabricante). Para una resolución de semiamplitud $a$ con distribución rectangular:

Ambas contribuciones se combinan en la incertidumbre típica combinada:

Incertidumbre en medidas indirectas: propagación

Si una magnitud $y = f(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ se calcula a partir de otras medidas independientes, su incertidumbre se obtiene por la ley de propagación de la incertidumbre:

De esta ley general se deducen dos casos particulares muy utilizados:

• Sumas y diferencias ($y = x_1 \pm x_2$): se suman en cuadratura las incertidumbres absolutas:

• Productos y cocientes ($y = x_1\,x_2$ o $y = x_1/x_2$): se suman en cuadratura las incertidumbres relativas:

Incertidumbre expandida

Para ofrecer un intervalo con un nivel de confianza determinado se define la incertidumbre expandida $U = k\,u_c$, donde $k$ es el factor de cobertura. Con $k = 2$ se obtiene, para una distribución aproximadamente normal, un nivel de confianza cercano al $95\,\%$.

Cifras significativas y redondeo

La expresión del resultado debe ser coherente con su incertidumbre. Son cifras significativas las que aportan información: todas las seguras más la primera afectada por la incertidumbre. Reglas prácticas:

• La incertidumbre se expresa, en general, con una o dos cifras significativas.
• El valor de la medida se redondea hasta la misma posición decimal que su incertidumbre. Es incorrecto escribir $L = 12{,}3847 \pm 0{,}2\ \mathrm{m}$; debe expresarse $L = (12{,}4 \pm 0{,}2)\ \mathrm{m}$.
• En operaciones, el número de cifras significativas del resultado lo limita el dato menos preciso.

Aplicación didáctica

En el currículo LOMLOE (Real Decreto 217/2022), los contenidos de este tema vertebran el bloque metodológico de «la actividad científica» y son transversales a toda la materia de Física y Química desde 2.º de ESO hasta el Bachillerato. Aparecen como saberes básicos ligados a las destrezas científicas: realizar medidas, manejar el SI, estimar la incertidumbre, expresar resultados con las cifras significativas adecuadas y comunicar conclusiones. Son idóneos para desarrollar la competencia STEM y la competencia digital mediante el trabajo en el laboratorio y el uso de sensores y hojas de cálculo.

La secuenciación aconseja introducir en la ESO las magnitudes, el SI y la medida directa con instrumentos sencillos (regla, calibre, balanza, probeta), reservando para Bachillerato el tratamiento estadístico de la incertidumbre y la propagación de errores. El calibre (pie de rey) y el micrómetro son excelentes para trabajar resolución y cifras significativas de forma tangible.

Deben anticiparse ideas previas y errores frecuentes: confundir masa y peso, o masa y volumen; creer que existe la «medida exacta» sin error; confundir precisión con exactitud; arrastrar en los cálculos todos los decimales de la calculadora sin atender a las cifras significativas; olvidar las unidades o mezclar el SI con unidades no coherentes. El error conceptual de tratar la temperatura o la densidad como magnitudes extensivas también es habitual. La mejor estrategia correctora es el trabajo experimental guiado con reflexión explícita sobre qué significa cada resultado y su incertidumbre.

Conclusión

Este tema fija los cimientos del edificio científico: la noción de magnitud —escalar o vectorial, fundamental o derivada, extensiva o intensiva—, el Sistema Internacional de Unidades hoy anclado a constantes universales de la naturaleza, el acto de medir con sus instrumentos y patrones, y la evaluación rigurosa de la incertidumbre que acompaña inevitablemente a todo resultado. La redefinición del SI de 2019 y el marco de la GUM representan la madurez de una metrología que aspira a la universalidad y la reproducibilidad. Dominar estos conceptos no es un requisito meramente formal: es la condición de posibilidad de la práctica científica y, en el aula, la puerta de entrada al pensamiento cuantitativo sobre el que se construyen todos los bloques posteriores de la física y la química.