Tema 7

Tras describir el movimiento con la cinemática y analizar las causas del movimiento de una única partícula con la dinámica del punto material, el paso natural consiste en abordar sistemas formados por muchas partículas: un sólido rígido, un fluido, un gas, un sistema planetario o, sencillamente, dos cuerpos que chocan. La dinámica de un sistema de partículas proporciona las leyes generales que gobiernan estos conjuntos y, con ellas, dos de los pilares más fecundos de toda la física: los principios de conservación.

La clave de todo el tema es una idea de enorme potencia: aunque un sistema esté formado por un número inmenso de partículas que interaccionan entre sí de forma complicadísima, su comportamiento global admite una descripción sencilla en términos de unas pocas magnitudes colectivas —el centro de masas, el momento lineal y el momento angular totales, y la energía—. Newton estableció las leyes de la mecánica para el punto material; fue Euler quien las generalizó a los sistemas y al sólido rígido, y mucho después Emmy Noether desvelaría que cada ley de conservación es la expresión de una simetría de la naturaleza. El tema ocupa un lugar central en el bloque de mecánica y sirve de base al estudio del sólido rígido, los fluidos y la termodinámica.

Dinámica de un sistema de partículas

Un sistema de partículas es un conjunto de $N$ masas puntuales $m_1, m_2, \dots, m_N$ que pueden interaccionar entre sí y con el exterior. Sobre cada partícula $i$ actúan dos tipos de fuerzas:

• Fuerzas internas $\vec{F}_{ij}$: las que ejercen unas partículas del sistema sobre otras. Por la tercera ley de Newton, aparecen a pares de acción y reacción, iguales y opuestas: $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$.
• Fuerzas externas $\vec{F}_i^{\,ext}$: las que ejerce sobre la partícula $i$ algún agente ajeno al sistema (la gravedad, un campo, un contacto exterior).

El centro de masas

La magnitud que organiza toda la descripción es el centro de masas (CM), punto geométrico ponderado por la masa cuya posición es:

donde $M = \sum_i m_i$ es la masa total del sistema. Para una distribución continua de masa, el sumatorio se sustituye por una integral, $\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$. Derivando respecto al tiempo se obtienen la velocidad y la aceleración del centro de masas:

Teorema del centro de masas

Si sumamos la segunda ley de Newton aplicada a cada partícula, las fuerzas internas se cancelan por pares (tercera ley), de modo que solo sobreviven las externas. El resultado es el teorema del movimiento del centro de masas:

Es una conclusión notable: el centro de masas de un sistema se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en él y sobre él actuaran todas las fuerzas externas. Por eso podemos tratar un balón, un planeta o un saltador como un punto material, aunque internamente sean complejos. Las fuerzas internas, por intensas que sean, no pueden modificar el movimiento del CM: un sistema aislado no puede autoacelerarse “tirando de sus propios cordones”.

Momentos lineal y angular

Momento lineal

El momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula es $\vec{p}_i = m_i\vec{v}_i$. El momento lineal total del sistema es la suma vectorial:

es decir, coincide con el de una partícula de masa $M$ que se moviera con la velocidad del centro de masas. Derivando y usando el teorema anterior se obtiene la ecuación fundamental de la dinámica de sistemas, que es la forma más general de la segunda ley de Newton:

Momento angular

El momento angular (o momento cinético) de una partícula respecto a un punto $O$ es el producto vectorial de su vector de posición por su momento lineal:

El momento angular total del sistema respecto a $O$ es $\vec{L} = \sum_i \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$. Su derivada temporal, teniendo en cuenta que $\vec{v}_i \times m_i\vec{v}_i = 0$, conduce a la ecuación del momento angular:

donde $\vec{M}_{ext}$ es el momento (o torque) resultante de las fuerzas externas. Los momentos de las fuerzas internas se cancelan siempre que estas sean centrales (dirigidas a lo largo de la recta que une cada par de partículas), hipótesis que cumplen la gravitación, la fuerza eléctrica y las fuerzas de enlace habituales.

Conviene subrayar el paralelismo formal entre ambas ecuaciones: la fuerza externa controla la variación del momento lineal, y el momento de las fuerzas externas controla la variación del momento angular. Son las ecuaciones que Euler formuló como leyes básicas de la mecánica de sistemas y del sólido rígido.

Principios de conservación

De las dos ecuaciones anteriores se deducen de inmediato dos principios de conservación, válidos con enorme generalidad y que constituyen herramientas de cálculo poderosísimas, pues no exigen conocer el detalle de las fuerzas internas.

Conservación del momento lineal

Si la resultante de las fuerzas externas es nula, $\vec{F}_{ext} = 0$, entonces $\dfrac{d\vec{P}}{dt} = 0$ y el momento lineal total se conserva:

En un sistema aislado, el centro de masas se mueve con velocidad constante (o permanece en reposo). Este principio explica el retroceso de un arma, la propulsión a reacción de un cohete, las explosiones —los fragmentos salen de modo que el CM sigue su trayectoria original— y, sobre todo, gobierna el análisis de las colisiones. Puede aplicarse componente a componente: si solo se anula una componente de la fuerza externa, se conserva la componente correspondiente de $\vec{P}$.

Conservación del momento angular

Si el momento resultante de las fuerzas externas es nulo, $\vec{M}_{ext} = 0$, entonces el momento angular total se conserva:

Este principio explica por qué una patinadora gira más deprisa al recoger los brazos (al disminuir su distribución de masa respecto al eje, aumenta $\omega$ para mantener $\vec{L}$), la estabilidad giroscópica y la segunda ley de Kepler: como la fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre un planeta es central, su momento respecto al Sol es nulo, el momento angular se conserva y el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.

Simetrías y conservación

Estos principios no son casualidades del cálculo. El teorema de Noether (1918) establece que a cada simetría continua de un sistema le corresponde una magnitud conservada: la homogeneidad del espacio (invariancia frente a traslaciones) implica la conservación del momento lineal; la isotropía del espacio (invariancia frente a rotaciones), la del momento angular; y la homogeneidad del tiempo, la conservación de la energía. Los principios de conservación son, así, la huella de las simetrías fundamentales de la naturaleza.

Energía de un sistema de partículas

Energía cinética y teorema de König

La energía cinética total del sistema es la suma de las energías cinéticas de sus partículas:

Un resultado especialmente útil es el teorema de König, que descompone esta energía en dos términos separando el movimiento global del interno. Si $\vec{v}_i'$ es la velocidad de cada partícula respecto al centro de masas, entonces:

El primer término es la energía cinética de traslación del sistema como un todo (la del CM); el segundo, la energía cinética interna o relativa al CM (que en un sólido rígido corresponde a la rotación). El momento angular admite una descomposición análoga en un término orbital (del CM) y otro intrínseco o de spin, $\vec{L} = \vec{r}_{cm}\times M\vec{v}_{cm} + \vec{L}'$.

Energía potencial y energía mecánica

Cuando las fuerzas que actúan son conservativas, puede asociárseles una energía potencial. Hay que distinguir dos contribuciones:

• La energía potencial externa, asociada a las fuerzas externas conservativas (por ejemplo, la gravitatoria, $U = Mgh_{cm}$).
• La energía potencial interna, asociada a las fuerzas internas conservativas (enlaces, interacciones entre las partículas). En un sólido rígido las distancias entre partículas no cambian, por lo que esta energía interna es constante y suele ignorarse; en un sistema deformable sí varía.

La energía mecánica total del sistema es la suma de la cinética y las potenciales:

Relación trabajo-energía

Teorema de las fuerzas vivas

El teorema del trabajo y la energía cinética (o de las fuerzas vivas) afirma que el trabajo total realizado por todas las fuerzas —externas e internas— sobre el sistema es igual a la variación de su energía cinética:

donde el trabajo de una fuerza a lo largo de una trayectoria es $W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$. Aquí aparece una diferencia esencial respecto al momento lineal: aunque las fuerzas internas se cancelan por pares y no contribuyen a $\vec{F}_{ext}$, su trabajo neto no tiene por qué anularse. En efecto, en un sistema deformable las dos fuerzas de un par actúan sobre puntos que se desplazan de forma distinta, y $W_{int} \neq 0$. Por eso una persona puede aumentar su energía cinética al saltar, o un muelle comprimido puede acelerar dos bloques: la energía interna se transforma en cinética. Solo en el sólido rígido el trabajo de las fuerzas internas es nulo.

Fuerzas conservativas y conservación de la energía

Una fuerza es conservativa cuando su trabajo no depende del camino, sino solo de las posiciones inicial y final; entonces deriva de una energía potencial mediante $W_{cons} = -\Delta U$. Separando el trabajo en la parte conservativa y la no conservativa, el teorema anterior se reescribe como el principio de conservación de la energía mecánica:

Si sobre el sistema no actúan fuerzas no conservativas (como el rozamiento), $W_{no \,cons} = 0$ y la energía mecánica se conserva: $E = T + U = \text{constante}$. Cuando sí hay rozamiento, la energía mecánica disminuye, pero no desaparece: se transforma en energía interna (térmica). Ampliando el balance a todas las formas de energía se llega al principio general de conservación de la energía, que enlaza con el primer principio de la termodinámica.

Aplicación: colisiones

Las colisiones son el escenario donde estos principios se ponen a prueba conjuntamente. En toda colisión aislada se conserva el momento lineal total. Según qué ocurra con la energía cinética se distinguen:

• Colisión elástica: se conservan el momento lineal y la energía cinética. Es el caso ideal de choques entre bolas de billar o moléculas de un gas ideal.

  $$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2', \qquad \sum \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 = \sum \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2$$

• Colisión inelástica: se conserva el momento lineal, pero no la energía cinética (parte se disipa en deformación o calor). En la perfectamente inelástica, los cuerpos quedan unidos tras el choque y se mueven con la velocidad del CM.

El grado de elasticidad se cuantifica mediante el coeficiente de restitución, $e = \dfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$, que vale $1$ en el choque perfectamente elástico y $0$ en el perfectamente inelástico.

Aplicación didáctica

En el currículo LOMLOE (Real Decreto 217/2022), los contenidos de este tema se distribuyen a lo largo de la etapa. En la ESO se introducen las fuerzas, la energía y sus transformaciones, y el principio de conservación de la energía con un enfoque cualitativo y contextualizado. La formalización con vectores, momento lineal y trabajo se produce en 4.º de ESO y, sobre todo, en 1.º de Bachillerato dentro de la Física y Química, quedando el sólido rígido y un tratamiento más completo para la Física de 2.º de Bachillerato.

Es un tema idóneo para desarrollar la competencia STEM y la competencia digital mediante el trabajo con leyes de conservación como estrategia de resolución de problemas, y para plantear situaciones de aprendizaje en torno a contextos reales: seguridad vial (por qué protegen las zonas de deformación programada y el airbag, que alargan el tiempo de la colisión y reducen la fuerza), deportes de choque o la propulsión.

Conviene anticipar las ideas previas y errores frecuentes: confundir masa con peso o con inercia; creer que las fuerzas internas pueden mover el centro de masas de un sistema aislado; pensar que en toda colisión se conserva la energía cinética (cuando en la mayoría no lo hace); identificar “sistema aislado” con “sistema en reposo”; o suponer que el momento lineal, por ser vectorial, se conserva en módulo aunque cambien las direcciones. El uso de simulaciones interactivas (por ejemplo, las de PhET sobre colisiones y momento lineal) y de experiencias con carriles de aire o carritos con sensores resulta muy eficaz para consolidar estas ideas.

Conclusión

La dinámica de un sistema de partículas muestra que el comportamiento global de un conjunto arbitrariamente complejo se rige por unas pocas magnitudes colectivas. El teorema del centro de masas reduce el movimiento de traslación al de un punto material; las ecuaciones del momento lineal y del momento angular generalizan la segunda ley de Newton y, cuando se anulan la fuerza o el momento externos, dan lugar a los principios de conservación, herramientas de cálculo tan generales como profundas —expresión, según Noether, de las simetrías del espacio y del tiempo—. El análisis energético, con el teorema de König y la relación trabajo-energía, completa el cuadro y advierte de que las fuerzas internas, aunque no muevan el centro de masas, sí pueden realizar trabajo. Sobre este armazón se construyen la mecánica del sólido rígido, la de fluidos y el puente hacia la termodinámica.