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Bloque B · Mecánica y fluidos

Tema 6

Movimiento de rotación de una partícula. Cinemática y dinámica. Conservación del momento angular. Aplicación al movimiento de los astros.

Por , profesor de Física y Química en Secundaria

El movimiento de rotación es, junto con la traslación, uno de los dos tipos fundamentales de movimiento de la mecánica. Cuando una partícula describe una trayectoria curva en torno a un punto o un eje, su descripción resulta mucho más natural con magnitudes angulares que con las cartesianas empleadas en la traslación. El estudio de la rotación de una única partícula —el objeto de este tema— constituye el escalón previo e imprescindible para abordar después la rotación del sólido rígido, y pone en juego una de las grandes leyes de conservación de la física: la conservación del momento angular.

Este tema se sitúa en el bloque de mecánica del temario (cuerpo 590-007), a continuación de la cinemática y la dinámica de traslación. Su interés es doble. Por un lado, proporciona el aparato conceptual (velocidad angular, momento angular, momento de una fuerza) que reaparece en electromagnetismo, física atómica y mecánica cuántica. Por otro, culmina en una de las síntesis más hermosas de la historia de la ciencia: la explicación del movimiento de los astros, donde las tres leyes de Kepler emergen de la gravitación universal de Newton y de la conservación del momento angular bajo fuerzas centrales.

1. Cinemática del movimiento de rotación

La cinemática de rotación describe el movimiento circular de la partícula sin atender a sus causas, empleando magnitudes angulares análogas a las lineales.

Posición y desplazamiento angular

Si una partícula gira en una circunferencia de radio RR, su posición queda fijada por el ángulo θ\theta que forma el radio con una dirección de referencia. Se mide en radianes (rad), definidos por el cociente entre la longitud de arco ss y el radio:

θ=sR⟹s=θ R\theta = \frac{s}{R} \quad\Longrightarrow\quad s = \theta\,R

El radián es adimensional, lo que permite recuperar la magnitud lineal (el arco) a partir de la angular. El desplazamiento angular en un intervalo es Δθ=θ2−θ1\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1.

Posición angular sobre una trayectoria circularUna circunferencia de radio R centrada en el punto O; a partir de una dirección de referencia horizontal, un radio hacia la partícula P forma el ángulo theta, que subtiende un arco de longitud s sobre la trayectoria.OPRsθreferencias = θ · R
Figura 1. Posición angular de una partícula sobre una trayectoria circular. El ángulo θ (en radianes) y la longitud de arco s se relacionan con el radio R mediante s = θ·R. Elaboración propia

Velocidad angular

La velocidad angular mide la rapidez con que varía el ángulo. Su valor medio es ωm=Δθ/Δt\omega_m = \Delta\theta/\Delta t y el instantáneo, el límite correspondiente:

ω=lim⁡Δt→0ΔθΔt=dθdt\omega = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}

Su unidad en el SI es el radián por segundo (rad s−1\mathrm{rad\,s^{-1}}). Es una magnitud vectorial: ω⃗\vec{\omega} se dirige a lo largo del eje de giro, con el sentido dado por la regla de la mano derecha. La velocidad lineal de la partícula se obtiene mediante el producto vectorial

v⃗=ω⃗×r⃗,v=ω R\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}, \qquad v = \omega\,R

de modo que v⃗\vec{v} es siempre tangente a la trayectoria.

Aceleración angular

La aceleración angular describe la variación de la velocidad angular:

α=dωdt=d2θdt2\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}

medida en rad s−2\mathrm{rad\,s^{-2}}. Se conecta con las componentes intrínsecas de la aceleración lineal a través del radio:

at=α R,an=ω2R=v2Ra_t = \alpha\,R, \qquad a_n = \omega^2 R = \frac{v^2}{R}

La componente tangencial ata_t refleja el cambio en el módulo de la velocidad; la componente normal o centrípeta ana_n, el cambio continuo de dirección, siempre presente en toda trayectoria curva.

Vectores velocidad y aceleración centrípetaUna partícula P recorre una circunferencia de centro O y radio R. Desde P parte el vector velocidad, tangente a la trayectoria, y el vector aceleración centrípeta, dirigido hacia el centro O a lo largo del radio.OPRθvareferencia
Figura 2. Velocidad y aceleración de una partícula en movimiento circular. El vector v es tangente a la trayectoria; el vector a es la aceleración centrípeta, dirigida siempre hacia el centro O. Elaboración propia

Movimientos circulares de especial interés

En el movimiento circular uniforme (MCU) la velocidad angular es constante (α=0\alpha = 0) y el movimiento es periódico:

θ=θ0+ω t,T=2πω,f=1T\theta = \theta_0 + \omega\,t, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T}

donde TT es el periodo y ff la frecuencia. Aun con celeridad constante, existe aceleración centrípeta an=ω2Ra_n = \omega^2 R. En el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA), α\alpha es constante y las ecuaciones son formalmente idénticas a las del MRUA sustituyendo las magnitudes lineales por sus equivalentes angulares:

ω=ω0+α t,θ=θ0+ω0 t+12 α t2\omega = \omega_0 + \alpha\,t, \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\,t^2

2. Dinámica del movimiento de rotación

La dinámica de rotación estudia las causas del giro. Sus dos magnitudes centrales son el momento angular y el momento de una fuerza, ligados por una ecuación fundamental análoga a la segunda ley de Newton.

Momento angular de una partícula

El momento angular (o momento cinético) de una partícula respecto a un punto OO se define como el momento de su cantidad de movimiento p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v}:

L⃗=r⃗×p⃗=m (r⃗×v⃗)\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} = m\,(\vec{r}\times\vec{v})

Es un vector perpendicular al plano formado por r⃗\vec{r} y v⃗\vec{v}, con unidad kg m2 s−1\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}} (equivalente a J s\mathrm{J\,s}). Su módulo vale L=m r v sen⁡φL = m\,r\,v\,\operatorname{sen}\varphi, siendo φ\varphi el ángulo entre r⃗\vec{r} y v⃗\vec{v}. En el movimiento circular, r⃗\vec{r} y v⃗\vec{v} son perpendiculares y, con r⃗\vec{r} medido desde el centro,

L=m v R=m R2 ω=I ωL = m\,v\,R = m\,R^2\,\omega = I\,\omega

donde I=m R2I = m\,R^2 es el momento de inercia de la partícula respecto al eje. Así, L⃗=I ω⃗\vec{L} = I\,\vec{\omega} es el análogo rotacional de la cantidad de movimiento p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v}: el momento de inercia desempeña en la rotación el papel que la masa juega en la traslación.

Momento de una fuerza

El momento de una fuerza (o par, o torque) respecto a un punto mide su capacidad de producir rotación:

M⃗=r⃗×F⃗\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}

Su unidad es el newton por metro (N m\mathrm{N\,m}) y su módulo, M=r F sen⁡φ=F dM = r\,F\,\operatorname{sen}\varphi = F\,d, donde d=r sen⁡φd = r\,\operatorname{sen}\varphi es el brazo de la fuerza (distancia del punto a la recta de acción). Una fuerza cuya recta de acción pasa por OO tiene brazo nulo y, por tanto, momento nulo: no produce giro en torno a ese punto.

Ecuación fundamental de la dinámica de rotación

Derivando el momento angular respecto al tiempo:

dL⃗dt=ddt(r⃗×mv⃗)=v⃗×mv⃗⏟= 0+r⃗×ma⃗=r⃗×F⃗=M⃗\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{r}\times m\vec{v}) = \underbrace{\vec{v}\times m\vec{v}}_{=\,0} + \vec{r}\times m\vec{a} = \vec{r}\times\vec{F} = \vec{M}

El primer término se anula por ser el producto vectorial de dos vectores paralelos. Se obtiene así la ecuación fundamental de la dinámica de rotación:

M⃗=dL⃗dt\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}

que establece que el momento de las fuerzas aplicadas iguala la rapidez de variación del momento angular. Para la partícula en giro con II constante se reduce a la forma más familiar

M⃗=I α⃗\vec{M} = I\,\vec{\alpha}

el análogo exacto de F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a}. Esta ecuación es el pilar de toda la dinámica de rotación.

3. Conservación del momento angular

De la ecuación fundamental se sigue de inmediato el principio de conservación del momento angular: si el momento neto de las fuerzas externas respecto a un punto es nulo, el momento angular respecto a ese punto permanece constante.

M⃗=0⟹dL⃗dt=0⟹L⃗=constante\vec{M} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{L} = \text{constante}

Este es uno de los grandes principios de conservación de la física, al mismo nivel que la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Por el teorema de Noether, su origen profundo es la isotropía del espacio (la invariancia de las leyes físicas frente a rotaciones).

Fuerzas centrales

El caso más relevante es el de las fuerzas centrales: aquellas cuya dirección pasa siempre por un punto fijo, F⃗∥r⃗\vec{F} \parallel \vec{r}. Entonces su momento respecto a ese centro es nulo, M⃗=r⃗×F⃗=0\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F} = 0, y el momento angular se conserva. De ello se deducen dos consecuencias geométricas importantes:

  • Como L⃗=m(r⃗×v⃗)\vec{L} = m(\vec{r}\times\vec{v}) es constante en dirección, los vectores r⃗\vec{r} y v⃗\vec{v} están siempre en un mismo plano: el movimiento es plano.
  • El módulo constante de L⃗\vec{L} implica que la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante), como se detalla en el apartado siguiente.

La gravitación y la fuerza electrostática de Coulomb son fuerzas centrales, lo que convierte a este resultado en la clave del movimiento planetario y del modelo atómico. Ejemplos cotidianos de conservación —el patinador que recoge los brazos y aumenta su velocidad de giro al disminuir su momento de inercia, o el guardameta en el aire— ilustran cómo, con M⃗=0\vec{M} = 0, un cambio de II obliga a un cambio compensatorio de ω\omega para mantener L=IωL = I\omega constante.

4. Aplicación al movimiento de los astros

La aplicación históricamente decisiva de todo lo anterior es la explicación del movimiento de los planetas. En el siglo XVI Copérnico propuso el modelo heliocéntrico; a comienzos del XVII Johannes Kepler, analizando las precisas observaciones de Tycho Brahe, formuló tres leyes empíricas del movimiento planetario. Décadas después Isaac Newton demostró que esas tres leyes son consecuencia de una única causa: la ley de gravitación universal.

La gravedad como fuerza central

La fuerza gravitatoria que el Sol (masa MM) ejerce sobre un planeta (masa mm) es

F⃗=− G M mr2 u⃗r\vec{F} = -\,G\,\frac{M\,m}{r^2}\,\vec{u}_r

dirigida siempre hacia el Sol: es una fuerza central. Por tanto su momento respecto al Sol es nulo y el momento angular del planeta se conserva. De aquí derivan directamente las dos primeras leyes de Kepler.

Leyes de Kepler

Primera ley (órbitas). Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos. La conservación del momento angular garantiza que el movimiento es plano; el análisis dinámico completo bajo la fuerza ∝1/r2\propto 1/r^2 demuestra que la trayectoria ligada es una elipse.

Segunda ley (áreas). El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. En un intervalo dtdt, el área barrida es

dA=12 ∣r⃗×dr⃗∣=12 ∣r⃗×v⃗∣ dtdA = \tfrac{1}{2}\,|\vec{r}\times d\vec{r}| = \tfrac{1}{2}\,|\vec{r}\times\vec{v}|\,dt

de modo que la velocidad areolar resulta

dAdt=12 ∣r⃗×v⃗∣=L2m=constante\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\,|\vec{r}\times\vec{v}| = \frac{L}{2m} = \text{constante}

Es, pues, una consecuencia inmediata de la conservación del momento angular. Su efecto observable es que el planeta se mueve más rápido en el perihelio (punto más cercano al Sol) y más lento en el afelio. Entre esos dos puntos, donde r⃗⊥v⃗\vec{r}\perp\vec{v}, la conservación de LL impone

vp rp=va rav_p\,r_p = v_a\,r_a

Tercera ley (periodos o ley armónica). El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor aa de la órbita:

T2=4π2G M a3T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,a^3

Para una órbita circular se deduce con sencillez igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta:

G M mr2=m ω2 r=m 4π2T2 r⟹T2=4π2G M r3G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\omega^2\,r = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3

La constante 4π2/(GM)4\pi^2/(GM) es la misma para todos los cuerpos que orbitan un mismo astro central, lo que permite «pesar» estrellas y planetas a partir de los periodos y radios de sus satélites. Esta síntesis newtoniana —una misma ley gobierna la caída de una manzana y la órbita de la Luna— constituye uno de los mayores logros de la física clásica y sustenta hoy la mecánica orbital de satélites y sondas espaciales.

Aplicación didáctica

En el currículo LOMLOE, la introducción al movimiento circular se aborda en la ESO (Real Decreto 217/2022) dentro de la materia de Física y Química, mientras que la dinámica de rotación, el momento angular y las leyes de Kepler se desarrollan con formalismo vectorial en 1.º y 2.º de Bachillerato (currículo regulado por el Real Decreto 243/2022). El tema es idóneo para la competencia STEM y para plantear situaciones de aprendizaje en contextos motivadores: satélites de comunicaciones, el GPS, la Estación Espacial Internacional o el lanzamiento de sondas mediante maniobras de asistencia gravitatoria.

Conviene anticipar las ideas previas y errores frecuentes:

  • Confundir velocidad angular y velocidad lineal: puntos con la misma ω\omega (por ejemplo, dos posiciones de una plataforma giratoria) tienen distinta vv según su radio.
  • Creer que en el MCU no hay aceleración porque la celeridad es constante; en realidad existe aceleración centrípeta permanente.
  • Postular una «fuerza centrífuga» real que empuja hacia fuera; se trata de un efecto inercial en sistemas no inerciales, no de una fuerza de interacción.
  • Pensar que los planetas van más rápido cuanto más lejos están del Sol, cuando la segunda ley de Kepler implica exactamente lo contrario.

El uso de simulaciones interactivas (por ejemplo, las del proyecto PhET), plataformas giratorias, taburetes y ruedas de bicicleta para mostrar la conservación del momento angular, y el análisis de datos orbitales reales, resultan especialmente eficaces para consolidar estos conceptos.

Conclusión

El movimiento de rotación de una partícula se describe con un juego de magnitudes angulares —posición, velocidad y aceleración angulares— paralelo al de la traslación, y se gobierna dinámicamente por la ecuación M⃗=dL⃗/dt\vec{M} = d\vec{L}/dt, análoga a la segunda ley de Newton. De ella se desprende la conservación del momento angular cuando el momento externo se anula, situación que se da de forma natural en las fuerzas centrales. Esta conservación explica el carácter plano de las órbitas y la ley de áreas, y, unida a la gravitación universal, permite deducir las tres leyes de Kepler que rigen el movimiento de los astros. El tema enlaza así la mecánica de la partícula con la astronomía y sienta las bases para el estudio posterior del sólido rígido, del campo gravitatorio y de la dinámica de sistemas.

Bibliografía
  1. Tipler, P. A. y Mosca, G. (2010). Física para la ciencia y la tecnología (6.ª ed.). Reverté.
  2. Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2018). Física para ciencias e ingeniería (10.ª ed.). Cengage.
  3. Alonso, M. y Finn, E. J. (1995). Física. Addison-Wesley Iberoamericana.
  4. Young, H. D. y Freedman, R. A. (2018). Física universitaria de Sears y Zemansky (14.ª ed.). Pearson.
  5. Orden de 9 de septiembre de 1993 (BOE núm. 226), por la que se aprueban los temarios del cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria, especialidad Física y Química (590-007).
  6. Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, currículo de Educación Secundaria Obligatoria (Física y Química, LOMLOE).