Tema 26

L'òptica geomètrica descriu la propagació de la llum quan la seua longitud d' ona és molt menor que les dimensions dels objectes i instruments amb els quals interacciona. En aqueix límit, els fenòmens difractius i interferencials resulten menyspreables i la llum pot tractar-se com un conjunt de raigs rectilinis que es reflecteixen i refracten en les superfícies. Amb aquesta poderosa simplificació s' expliquen la formació d'imatges, el funcionament d'espills, lents i instruments òptics i el mateix mecanisme de la visió.

El tema ocupa un lloc central en el bloc d'òptica del temari: proporciona les eines de traçat de raigs i les equacions que governen la formació d' imatges, i culmina en una aplicació d'enorme valor formatiu i quotidià —l'ull humà i la correcció dels seus defectes—. Històricament, l'òptica geomètrica es va consolidar en el segle XVII amb la llei de la refracció (Snell i Descartes) i amb el principi de Fermat, que ofereix un fonament variacional unificat del qual es dedueixen totes les lleis elementals.

1. Òptica geomètrica: lleis fonamentals

L'òptica geomètrica es construeix sobre tres principis experimentals.

Propagació rectilínia. En un medi homogeni i isòtrop la llum es propaga en línia recta, fet que justifica la formació d'ombres i penombres i l'ús de la cambra fosca.

Índex de refracció. La velocitat de la llum en un medi material, $v$, és menor que en el buit, $c$. Es defineix l'índex de refracció com

$$n = \frac{c}{v} \geq 1$$

L'aire té $n \approx 1{,}0003$; l'aigua, $n \approx 1{,}33$; el vidre comú, $n \approx 1{,}5$. Com $n$ depèn de la freqüència de la llum (dispersió), un prisma descompon la llum blanca en els seus colors.

Llei de la reflexió. El raig reflectit està en el pla d'incidència i l' angle de reflexió és igual al d'incidència, mesurats ambdós respecte a la normal:

$$\theta_i = \theta_r$$

Llei de la refracció (Snell–Descartes). En passar d'un medi d'índex $n_1$ a un altre d'índex $n_2$, el raig es desvia segons

$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$

Si la llum passa a un medi més refringent ($n_2 > n_1$) s'acosta a la normal; en el cas contrari s'allunya d'ella. Quan la llum va d'un medi més dens a un altre menys dens, existeix un angle límit $\theta_L$ a partir del qual el raig ja no pot refractar-se i es produeix reflexió total interna:

$$\sin\theta_L = \frac{n_2}{n_1} \qquad (n_1 > n_2)$$

Aquest fenomen és la base de la fibra òptica i dels prismes de reflexió total usats en prismàtics.

2. Principi de Fermat

Les lleis anteriors poden deduir-se d'un únic enunciat, formulat per Pierre de Fermat cap a 1662. Es defineix el camí òptic entre dos punts $A$ i $B$ com la integral de l'índex de refracció al llarg de la trajectòria del raig:

$$\Lambda = \int_A^B n\,ds$$

Com el temps emprat per la llum és $t = \Lambda/c$, el camí òptic és proporcional al temps de recorregut. El principi de Fermat estableix que:

La trajectòria real que segueix la llum entre dos punts és aquella per a la qual el camí òptic és estacionari (habitualment mínim) enfront de variacions infinitesimals del camí.

En termes variacionals, $\delta\Lambda = 0$. En la seua versió històrica sol enunciar-se com a principi del temps mínim.

Deducció de la llei de la refracció. Siga un raig que va d'$A$, situat a una altura $a$ en el medi $1$, a $B$, a una profunditat $b$ en el medi $2$, creuant la interfície a una distància horitzontal $x$. El temps total és

$$t(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{v_2}$$

Imposant $\dfrac{dt}{dx} = 0$ resulta

$$\frac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{d-x}{v_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \;\Longrightarrow\; \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2}$$

i, substituint $v_i = c/n_i$, es recupera la llei de Snell $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$. Un raonament anàleg, amb ambdós punts en el mateix medi, condueix a la llei de la reflexió $\theta_i = \theta_r$. El principi de Fermat proporciona així el fonament teòric comú de l'òptica geomètrica i anticipa els principis variacionals que dominaran la física posterior (mecànica de Lagrange i Hamilton).

3. Formació d'imatges en espills i lents

La formació d'imatges s'estudia en l'aproximació paraxial (raigs poc inclinats i pròxims a l'eix òptic), on $\sin\theta \approx \theta$. S'adopta el criteri de signes europeu (DIN): l'origen se situa en el vèrtex o centre òptic, la llum incideix d'esquerra a dreta, les distàncies es prenen positives en el sentit de propagació i les altures positives cap amunt. Amb aquest criteri, un objecte real situat a l'esquerra té distància $s < 0$.

Espills esfèrics

Per a un espill esfèric de radi $r$, la relació entre la distància objecte $s$, la distància imatge $s'$ i la distància focal $f' = r/2$ és

$$\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{2}{r} = \frac{1}{f'}$$

L'augment lateral val

$$\beta = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}$$

En un espill còncau ($r<0$, $f'<0$) la imatge és real i invertida si l'objecte està més enllà del focus, i virtual, dreta i major si està entre el focus i l' espill (ús com a espill d'augment). En un espill convex ($r>0$, $f'>0$) la imatge és sempre virtual, dreta i menor, amb ampli camp de visió (retrovisors).

Diòptrio esfèric i lents primes

Una superfície esfèrica que separa dos medis (diòptrio) forma imatges segons

$$\frac{n_2}{s'} - \frac{n_1}{s} = \frac{n_2 - n_1}{r}$$

Combinant dos diòptrios s'obté l'equació de les lents primes:

$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$$

La distància focal es relaciona amb les curvatures mitjançant l'equació del constructor de lents (fórmula del fabricant):

$$\frac{1}{f'} = (n - 1)\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$$

La inversa de la focal és la potència, mesurada en diòptries ($\mathrm{m^{-1}}$):

$$P = \frac{1}{f'}$$

L'augment lateral d'una lent prima és $\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$. Les lents convergents ($f'>0$, més gruixudes en el centre) formen imatges reals d'objectes llunyans; les divergents ($f'<0$, més gruixudes en els bords) donen sempre imatges virtuals, dretes i menors. El traçat de tres raigs principals (paral·lel a l'eix $\to$ focus imatge; pel centre òptic sense desviar-se; pel focus objecte $\to$ paral·lel) permet construir gràficament qualsevol imatge.

4. Anàlisi i construcció dels instruments òptics

Els instruments òptics combinen espills i lents per a ampliar l'augment angular —la grandària aparent d'un objecte— més enllà del que permet l'ull nu.

La lupa (microscopi simple). Una lent convergent que, amb l'objecte dins de la distància focal, produeix una imatge virtual i augmentada. El seu augment angular, prenent la distància de visió nítida $d = 0{,}25\ \mathrm{m}$ (punt pròxim), és

$$M = \frac{d}{f'} = \frac{0{,}25}{f'}$$

El microscopi compost. Un objectiu de focal molt curta forma una imatge real i augmentada que l'ocular amplia com una lupa. L'augment total és el producte de l'augment lateral de l'objectiu pel de l'angular de l'ocular:

$$M = \beta_{ob}\cdot M_{oc} \approx -\frac{L}{f'_{ob}}\cdot\frac{d}{f'_{oc}}$$

on $L$ és la longitud del tub. Permet observar estructures microscòpiques.

El telescopi i l'ullera astronòmica. Per a objectes llunyans, un objectiu de focal llarga (lent en el refractor; espill còncau en el reflector de Newton) i un ocular de focal curta amb els focus coincidents donen un augment angular

$$M = \frac{f'_{ob}}{f'_{oc}}$$

Els reflectors eviten l'aberració cromàtica i permeten grans apertures.

La càmera fotogràfica i el projector. Una lent convergent forma una imatge real sobre el sensor (o la pantalla). El diafragma regula l'apertura i l' enfocament s'aconsegueix variant la distància lent–sensor.

Els prismàtics són una ullera doble que empra prismes de reflexió total interna per a plegar el camí òptic i redreçar la imatge. En tots aquests instruments, el poder separador o resolució —capacitat de distingir dos punts pròxims— queda finalment limitat per la difracció, un fenomen que l' òptica geomètrica no descriu i que exigeix el model ondulatori de la llum.

En el disseny real han de minimitzar-se les aberracions: esfèrica, cromàtica (distintes focals segons el color), coma, astigmatisme i distorsió. Es corregeixen combinant lents de distints vidres (doblets acromàtics) i superfícies asfèriques.

5. L'ull i els defectes de la visió

L'ull humà és un sistema òptic natural. La llum travessa la còrnia (que aporta la major part de la potència refractiva), l'humor aquós, la pupil·la —el diàmetre de la qual regula l'iris— i el cristal·lí, una lent biconvexa de potència variable, fins a formar una imatge real i invertida sobre la retina. Allí els fotoreceptors (cons i bastons) transdueixen la llum en impulsos nerviosos que el nervi òptic porta al cervell.

L'acomodació és la capacitat del cristal·lí, governada pel múscul ciliar, de modificar la seua curvatura per a enfocar objectes a distintes distàncies sobre la retina. L'ull emmetrop (normal) enfoca sense esforç des del punt remot (infinit) fins al punt pròxim (uns $25\ \mathrm{cm}$ en l'adult jove).

Els principals defectes de la visió i la seua correcció són:

• Miopia. L'ull és massa convergent o llarg; la imatge es forma davant de la retina i el punt remot s'acosta. Es corregeix amb lents divergents ($P < 0$).
• Hipermetropia. L'ull és poc convergent o curt; la imatge tendeix a formar-se darrere de la retina i el punt pròxim s'allunya. Es corregeix amb lents convergents ($P > 0$).
• Presbícia (vista cansada). Pèrdua d'acomodació per rigidesa del cristal·lí amb l'edat; allunya el punt pròxim. Es corregeix amb lents convergents per a la visió propera (sovint progressives o bifocals).
• Astigmatisme. Curvatura desigual de la còrnia segons la direcció; els raigs de distints plans no enfoquen alhora. Es corregeix amb lents cilíndriques o tòriques.
• Daltonisme. Deficiència en la percepció del color per alteració dels cons; no és un defecte d'enfocament i no es corregeix amb lents.

Per a calcular la lent correctora s'imposa que la imatge d'un objecte situat on l'ull defectuós la necessita coincidisca amb la que un ull normal enfocaria; per exemple, en la miopia la lent ha de portar l'infinit fins al punt remot $R$ de l'ull, de manera que $P = 1/f' = -1/|R|$.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els fenòmens òptics s'introdueixen de forma qualitativa en l'ESO —reflexió, refracció, descomposició de la llum, formació d'imatges i l'ull— i es formalitzen quantitativament en 2n de Batxillerat dins del bloc d'òptica de Física. És un tema idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital, mitjançant el traçat de raigs, la construcció d'imatges amb lents reals o amb simuladors (per exemple, els de PhET) i pràctiques de laboratori amb banc òptic, espills i lents.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: creure que veiem perquè dels ulls "ix" alguna cosa cap als objectes (model emissor, ja refutat en l' Antiguitat); confondre imatge real i virtual; pensar que tapar mitja lent elimina mitja imatge (en realitat redueix la lluentor, no el camp); o suposar que la imatge en la retina es "veu" dreta quan en realitat és invertida i el cervell la reinterpreta. L'ús de diagrames de raigs, simulacions i experiències amb la pròpia visió (punt pròxim, punt cec) resulta molt eficaç per a corregir aquestes concepcions alternatives. L'estudi de l'ull, a més, afavoreix la connexió interdisciplinària amb la Biologia i l'educació per a la salut visual.

Conclusió

L'òptica geomètrica ofereix un model simple i potentíssim —la llum com a raigs— que, recolzat en les lleis de la reflexió i la refracció i unificat pel principi de Fermat, explica quantitativament la formació d'imatges en espills i lents. D'aqueixes equacions bàsiques sorgeixen el disseny de tots els instruments òptics, des de la lupa al telescopi, i la comprensió de l'ull humà i de la correcció dels seus defectes. El tema articula així teoria fonamental, aplicació tecnològica i un context quotidià de gran valor formatiu, i serveix de pont cap a l'òptica física, on el caràcter ondulatori de la llum —difracció i interferències— completa el quadre que l'aproximació geomètrica deliberadament ignora.