Tema 24

Un circuit elèctric és un conjunt d'elements connectats per conductors que permet el pas controlat de la càrrega elèctrica. Més enllà del generador i dels conductors, tres elements passius determinen per complet el comportament de la immensa majoria dels circuits: la resistència, el condensador i la bobina. Cadascun respon d'una manera característica a la tensió i al corrent, i cadascun gestiona l'energia de forma distinta: la resistència la dissipa, mentre que el condensador i la bobina l'emmagatzemen i la retornen. Comprendre aquests tres components és la porta d'entrada a l' electrònica, a la tecnologia elèctrica i a l'anàlisi de senyals.

Aquest tema se situa en el bloc d'electromagnetisme del temari, després de l' estudi del corrent continu i dels fenòmens d'inducció. Recull i aplica resultats fonamentals deguts a Ohm (relació tensió-corrent), Faraday i Henry (inducció i autoinducció), Coulomb (electrostàtica) i Joule (dissipació tèrmica). El seu interès didàctic és doble: d'una banda té un fort ancoratge experimental i tecnològic; d'una altra, integra en un mateix llenguatge l'electrostàtica, el magnetisme i l'energia.

1. Els elements d'importància: resistències, bobines i condensadors

Els tres són elements passius —no aporten energia neta al circuit— i de dos terminals. Cadascun es defineix per la relació que imposa entre la tensió $v$ entre els seus borns i el corrent $i$ que el travessa.

La resistència

Una resistència és un element que s'oposa al pas del corrent transformant energia elèctrica en calor. El seu comportament ideal obeeix a la llei d'Ohm, establerta per Georg Ohm el 1827:

$$V = R\,I$$

on $R$ és la resistència elèctrica, la unitat de la qual en el SI és l'ohm ($\Omega = \mathrm{V\,A^{-1}}$). Per a un conductor filiforme de longitud $L$, secció $A$ i resistivitat $\rho$:

$$R = \rho\,\frac{L}{A}$$

La resistivitat depèn del material i de la temperatura; en els metalls augmenta aproximadament de forma lineal, $\rho = \rho_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)$. En recórrer un corrent una resistència, es dissipa potència per efecte Joule:

$$P = V\,I = I^2\,R = \frac{V^2}{R}$$

És fonamental notar que en una resistència el corrent està en fase amb la tensió: és un element purament dissipatiu.

El condensador

Un condensador és un dispositiu capaç d'emmagatzemar càrrega i, amb ella, energia en forma de camp elèctric. En la seua versió més senzilla, dues armadures conductores separades per un dielèctric. Es caracteritza per la seua capacitat:

$$C = \frac{Q}{V}$$

la unitat de la qual és el farad ($\mathrm{F = C\,V^{-1}}$). Per a un condensador pla d'àrea $A$ i separació $d$ entre armadures, amb un dielèctric de permitivitat $\varepsilon$:

$$C = \varepsilon\,\frac{A}{d}$$

La relació entre corrent i tensió és diferencial, ja que el corrent tradueix la variació de càrrega en les armadures, $i = dq/dt$:

$$i = C\,\frac{dv}{dt}$$

Aquesta equació revela dos trets clau: el condensador no deixa passar corrent continu en règim estacionari (si $v$ és constant, $i = 0$) i la seua tensió no pot variar bruscament.

La bobina

Una bobina o inductor és un enrotllament de conductor que emmagatzema energia en forma de camp magnètic. Es caracteritza per la seua autoinducció $L$, que relaciona el flux magnètic concatenat amb el corrent que el genera, $L = N\Phi / I$. La seua unitat és el henry ($\mathrm{H = V\,s\,A^{-1}}$), en honor a Joseph Henry. Per a un solenoide llarg de $N$ espires, longitud $l$ i secció $A$:

$$L = \mu_0\,\frac{N^2 A}{l}$$

Per la llei de Faraday-Lenz, tota variació del corrent indueix una força electromotriu que s'oposa al canvi (autoinducció):

$$v = L\,\frac{di}{dt}$$

D'ací es dedueix el comportament dual del condensador: la bobina no ofereix oposició al corrent continu estacionari (si $i$ és constant, $v = 0$) i el seu corrent no pot variar bruscament.

Associacions

Els tres elements admeten associacions en sèrie i en paral·lel, amb regles que convé tenir presents:

$$R_{eq}^{serie} = \sum_i R_i, \qquad \frac{1}{R_{eq}^{par}} = \sum_i \frac{1}{R_i}$$ $$L_{eq}^{serie} = \sum_i L_i, \qquad \frac{1}{C_{eq}^{serie}} = \sum_i \frac{1}{C_i}, \qquad C_{eq}^{par} = \sum_i C_i$$

Observeu que resistències i bobines segueixen la mateixa regla, mentre que els condensadors la inverteixen: se sumen directament en paral·lel.

2. El seu paper en els circuits de corrent continu i altern

El comportament d'aquests elements és radicalment distint segons el corrent siga continu (CC) o altern (CA), i ací resideix bona part de la seua utilitat.

En corrent continu: règim transitori i estacionari

En CC cal distingir dues fases. En el règim estacionari (transcorregut molt de temps), el condensador es comporta com un circuit obert (no circula corrent per ell) i la bobina com un curtcircuit (una simple connexió sense caiguda de tensió, tret de la resistència del fil). Els elements reactius només "actuen" durant els transitoris, quan el corrent o la tensió estan canviant.

En un circuit RC connectat a una font $V$, la càrrega del condensador creix exponencialment:

$$q(t) = C\,V\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = R\,C$$

En un circuit RL, el corrent creix de la mateixa manera fins al seu valor final:

$$i(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}$$

La magnitud $\tau$ és la constant de temps: mesura quant tarda el sistema a assolir aproximadament el $63\,\%$ del seu valor final. Aquests processos de càrrega i descàrrega són la base de temporitzadors, filtres i circuits d'arrancada.

En corrent altern: reactància i impedància

Amb una tensió sinusoïdal $v(t) = V_0\sin(\omega t)$, cada element introdueix una relació d'amplitud i de fase pròpia entre $v$ i $i$:

• Resistència: corrent i tensió en fase. L'oposició és simplement $R$.
• Condensador: el corrent avança $90^\circ$ a la tensió. La seua oposició, la reactància capacitiva, disminueix amb la freqüència:

$$X_C = \frac{1}{\omega C}$$

• Bobina: el corrent retarda $90^\circ$ respecte a la tensió. La seua reactància inductiva creix amb la freqüència:

$$X_L = \omega L$$

Així, el condensador deixa passar millor les altes freqüències i la bobina, les baixes; sobre aquesta propietat es construeixen els filtres electrònics. En un circuit RLC sèrie, l'oposició total és la impedància, que combina part resistiva i part reactiva:

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

on $\varphi$ és el desfasament entre tensió i corrent. El corrent eficaç val $I_{ef} = V_{ef}/Z$. Quan $X_L = X_C$, les reactàncies es cancel·len, la impedància és mínima ($Z = R$) i el corrent màxim: és la ressonància, que ocorre a la freqüència

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}$$

fenomen essencial en la sintonització d'emissores de ràdio.

Valors eficaços

Per a comparar CA i CC s'empren els valors eficaços (rms), que són els que produirien el mateix efecte Joule que un corrent continu equivalent:

$$V_{ef} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}, \qquad I_{ef} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$$

Quan es diu que la xarxa domèstica espanyola és de $230\ \mathrm{V}$, es fa referència al valor eficaç; l'amplitud és $V_0 = 230\sqrt{2} \approx 325\ \mathrm{V}$.

3. Energia emmagatzemada o transformada

La diferència energètica entre els tres elements és el seu tret més profund: un transforma energia de manera irreversible i els altres dos l'emmagatzemen de forma reversible.

La resistència: energia transformada (dissipada)

La resistència converteix energia elèctrica en calor per efecte Joule, un procés irreversible. L'energia dissipada en un temps $t$ és:

$$E = P\,t = I^2\,R\,t$$

No hi ha recuperació possible: aquesta és la base d'estufes, forns, bombetes incandescents i fusibles, però també la causa de les pèrdues en el transport d'energia elèctrica.

El condensador: energia en el camp elèctric

En carregar-se, un condensador emmagatzema energia en el camp elèctric entre les seues armadures. Integrant la potència durant la càrrega s'obté:

$$U_E = \frac{1}{2}\,C\,V^2 = \frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}\,Q\,V$$

Aquesta energia pot interpretar-se com a distribuïda en el propi camp, amb una densitat d'energia $u_E = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon\,E^2$. L'energia és recuperable en descarregar el condensador, la qual cosa s'aprofita en flaixos fotogràfics, desfibril·ladors i filtres d'alimentació.

La bobina: energia en el camp magnètic

De forma anàloga, una bobina recorreguda per corrent emmagatzema energia en el camp magnètic:

$$U_B = \frac{1}{2}\,L\,I^2$$

amb una densitat d'energia $u_B = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$. També és reversible: en interrompre el corrent, l'energia es retorna (la qual cosa explica les espurnes en obrir un interruptor inductiu).

Intercanvi d'energia: el circuit LC i la potència en CA

Si es connecten un condensador carregat i una bobina, l'energia oscil·la entre el camp elèctric i el camp magnètic, anàlogament a com en un pèndol s' intercanvien energia cinètica i potencial. En absència de resistència, l'energia total es conserva i el sistema oscil·la amb la freqüència natural $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$. Amb resistència, l'oscil·lació s'esmorteeix perquè la energia es dissipa en $R$.

Aquesta distinció explica un resultat central de la CA: només la resistència consumeix potència mitjana. Els elements reactius absorbeixen energia durant mig cicle i la retornen en el següent, de manera que la seua potència mitjana és nul·la. La potència mitjana realment consumida és:

$$P_{mitjana} = V_{ef}\,I_{ef}\cos\varphi$$

on $\cos\varphi$ és el factor de potència. Optimitzar aquest factor —acostant-lo a la unitat mitjançant compensació de reactàncies— és un objectiu bàsic de l' enginyeria elèctrica per a reduir pèrdues.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), els circuits elèctrics apareixen de forma progressiva. En l'ESO (especialment en 2n i 3r) es treballen la llei d'Ohm, les associacions de resistències i la potència elèctrica amb muntatges senzills i, cada vegada més, amb simuladors. L'estudi formal del condensador, la bobina, la inducció i el corrent altern es reserva a la Física de 2n de Batxillerat, dins del bloc d'electromagnetisme.

És un contingut excel·lent per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital: muntatge de circuits amb protoboard, mesura amb polímetre, i ús de simuladors lliures (com els de PhET o Falstad) per a visualitzar transitoris, reactàncies i ressonància, difícils de percebre amb el material tradicional. Es presta a situacions d'aprenentatge connectades amb la tecnologia quotidiana: per què els transformadors només funcionen amb CA, com sintonitza una ràdio o què protegeix un fusible.

Convé anticipar errors freqüents: confondre tensió i intensitat; creure que el condensador "condueix" el corrent continu (en realitat el corrent només existeix mentre es carrega); pensar que la bobina "gasta" energia com una resistència (l'emmagatzema i la retorna); o identificar reactància amb resistència sense distingir el desfasament. Insistir en l'analogia energètica (dissipar enfront d'emmagatzemar) i en les gràfiques $v\text{–}t$ i $i\text{–}t$ ajuda a corregir aquestes concepcions alternatives.

Conclusió

Resistències, condensadors i bobines constitueixen els tres pilars de l'anàlisi de circuits. Cadascun queda definit per una relació tensió-corrent característica —proporcional en la resistència, i integro-diferencial en els elements reactius— que determina el seu paper: en corrent continu, el condensador bloqueja el règim estacionari i la bobina el condueix, i ambdós governen els transitoris; en corrent altern, les seues reactàncies depenen de la freqüència i combinen la impedància, donant lloc a fenòmens com la ressonància. La clau unificadora és l'energia: la resistència la transforma irreversiblement en calor, mentre que el condensador i la bobina l'emmagatzemen de manera reversible en els camps elèctric i magnètic, respectivament. Aquest bastiment conceptual és la base de tota l'electrònica i la tecnologia elèctrica, i enllaça de forma natural amb l'estudi de la inducció, les ones electromagnètiques i el tractament de senyals.