Tema 18

Una ona és la propagació d'una pertorbació a través d'un medi o de l' espai, transportant energia i quantitat de moviment sense que hi haja transport net de matèria. Aquest tret —que l'energia viatge mentre les partícules del medi sols oscil·len al voltant de les seues posicions d'equilibri— és la clau per a entendre fenòmens tan quotidians com el so, i alhora un dels que més costa assimilar a l'alumnat. El present tema aborda les ones mecàniques, és a dir, les que es propaguen per medis elàstics, i culmina amb l'estudi del so i del seu revers problemàtic, la contaminació acústica.

El moviment ondulatori ocupa un lloc central en el temari: enllaça amb el moviment harmònic simple (cada punt del medi descriu un MHS en passar l' ona) i anticipa l'estudi de la llum i de l'electromagnetisme, on les ones ja no necessiten medi material. Històricament, la comprensió de les ones deu molt a Christiaan Huygens, que va formular el principi geomètric de propagació dels fronts; a Fourier, que va mostrar que qualsevol pertorbació periòdica és suma d'ones harmòniques; i a Doppler, que va explicar el canvi de freqüència associat al moviment relatiu de font i observador.

1. Ones en medis elàstics

Un medi elàstic és aquell en què, en desplaçar una porció de la seua posició d'equilibri, apareixen forces recuperadores (elàstiques) que tendeixen a restituir-la i que, per inèrcia, provoquen que la pertorbació es transmeta a les regions veïnes. Així es propaga una ona mecànica. Les ones electromagnètiques, en canvi, no requereixen medi; aquest tema se centra en les mecàniques.

Classificació de les ones

• Segons la necessitat de medi: mecàniques (so, ones en cordes o en l' aigua) enfront d'electromagnètiques (llum).
• Segons la relació entre vibració i propagació:
  • Transversals: les partícules vibren perpendicularment a la direcció de propagació (corda tensa, ones superficials de l'aigua).
  • Longitudinals: les partícules vibren en la mateixa direcció en què avança l'ona, generant compressions i dilatacions (el so).
• Segons el nombre de dimensions en què es propaguen: unidimensionals (corda), bidimensionals (superfície de l'aigua) o tridimensionals (so en l' aire).
• Segons la forma del front d'ona: planes, esfèriques o cilíndriques.

Ona harmònica i magnituds característiques

Si el focus vibra amb un MHS, la pertorbació resultant és una ona harmònica. Per a una ona unidimensional que es propaga en el sentit positiu de l'eix $x$, la funció d'ona és:

$$y(x,t) = A\,\sin(\omega t - k x + \varphi_0)$$

Les seues magnituds fonamentals són:

• Amplitud $A$: màxima elongació d'un punt del medi.
• Longitud d'ona $\lambda$: distància entre dos punts consecutius en el mateix estat de vibració (periodicitat espacial).
• Període $T$: temps que tarda un punt a completar una oscil·lació (periodicitat temporal); la seua inversa és la freqüència $f = 1/T$.
• Freqüència angular $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ i nombre d'ona $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$.

L'ona presenta, per tant, una doble periodicitat: en l'espai (amb període $\lambda$) i en el temps (amb període $T$). La velocitat de propagació relaciona ambdues:

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}$$

Equació d'ones i velocitat de propagació

Tota funció d'ona satisfà l'equació diferencial d'ones de D'Alembert:

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$

Un aspecte essencial és que la velocitat de propagació depèn exclusivament del medi, no de la freqüència amb què es genere l'ona (en un medi ideal no dispersiu). Segons el tipus de medi:

$$v_{\text{corda}} = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, \qquad v_{\text{fluid}} = \sqrt{\frac{B}{\rho}}, \qquad v_{\text{sòlid}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

on $T$ és la tensió de la corda i $\mu$ la seua densitat lineal, $B$ el mòdul de compressibilitat del fluid, $E$ el mòdul de Young del sòlid i $\rho$ la densitat. En tots els casos la velocitat creix amb la rigidesa del medi i decreix amb la seua inèrcia.

2. Energia que transporten

El tret distintiu d'una ona és que transporta energia sense transportar matèria. Cada partícula del medi, en ser assolida per l'ona, descriu un MHS i adquireix una energia mecànica

$$E = \tfrac{1}{2}\,m\,\omega^2 A^2,$$

que es propaga d'unes partícules a altres. Dues conseqüències importants: l' energia és proporcional al quadrat de l'amplitud i al quadrat de la freqüència.

Intensitat d'una ona

La intensitat $I$ és l'energia que travessa per unitat de temps la unitat de superfície perpendicular a la propagació; és a dir, la potència per unitat d' àrea. La seua unitat en el SI és el watt per metre quadrat ($\mathrm{W\,m^{-2}}$):

$$I = \frac{P}{S} = \tfrac{1}{2}\,\rho\,v\,\omega^2 A^2$$

Atenuació amb la distància

En una ona esfèrica, l'energia emesa pel focus es reparteix sobre superfícies esfèriques cada vegada majors. Com que la potència es conserva i l'àrea creix amb $r^2$, la intensitat disminueix amb el quadrat de la distància:

$$I = \frac{P}{4\pi r^2} \;\Rightarrow\; I \propto \frac{1}{r^2}, \qquad A \propto \frac{1}{r}$$

Aquesta atenuació geomètrica explica que el so es debilite en allunyar-nos del focus fins i tot sense pèrdues. A ella se suma l'absorció del medi, que amorteix l' amplitud de forma exponencial:

$$A = A_0\,e^{-\beta x}$$

sent $\beta$ el coeficient d'absorció.

3. Fenòmens característics

En propagar-se i trobar obstacles o canvis de medi, les ones exhibeixen una sèrie de fenòmens que les identifiquen com a tals:

• Reflexió: l'ona canvia de direcció en incidir sobre una superfície sense canviar de medi. Es conserven l'angle (angle d'incidència igual al de reflexió) i la freqüència. En reflectir-se en un medi més dens es produeix una inversió de fase ($\pi$ rad); en un de menys dens, no.
• Refracció: en passar a un medi distint canvia la velocitat de propagació i, amb ella, la direcció i la longitud d'ona (la freqüència es manté). Es regeix per la llei de Snell:

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

• Difracció: l'ona voreja obstacles o s'obri després de travessar una escletxa quan la grandària d'aquests és comparable a $\lambda$. És una manifestació directa del principi de Huygens, segons el qual cada punt d'un front d' ona actua com a focus emissor d'ones secundàries.
• Interferència: superposició de dues o més ones en una regió de l'espai (es desenvolupa en l'epígraf 4).
• Polarització: restricció de la vibració a un sol pla. Sols la presenten les ones transversals; les longitudinals, com el so, no poden polaritzar-se, la qual cosa constitueix una prova experimental del seu caràcter.
• Efecte Doppler: variació de la freqüència percebuda quan hi ha moviment relatiu entre focus i observador. Per al so:

$$f' = f\,\frac{v \pm v_O}{v \mp v_S}$$

on $v_O$ i $v_S$ són les velocitats de l'observador i del focus. La freqüència augmenta quan s'acosten i disminueix quan s'allunyen (el conegut canvi de to d'una ambulància).

4. Principi de superposició

El principi de superposició estableix que, quan dues o més ones coincideixen en un punt d'un medi lineal, la pertorbació resultant és la suma vectorial de les pertorbacions que produiria cada ona per separat:

$$y = y_1 + y_2 + \cdots + y_n$$

Després del creuament, cada ona continua com si les altres no existiren. D'aquest principi es deriven els fenòmens d'interferència, les ones estacionàries i les pulsacions.

Interferència de dues ones coherents

Dos focus coherents (igual freqüència i desfasament constant) generen un patró estable. Si les ones arriben a un punt amb una diferència de camí $\Delta r$, la interferència és:

$$\Delta r = n\,\lambda \;\;(\text{constructiva}), \qquad \Delta r = (2n+1)\,\frac{\lambda}{2}\;\;(\text{destructiva})$$

amb $n = 0, 1, 2, \ldots$. Per a dues ones d'igual amplitud i desfasament $\delta$, l' amplitud resultant és $A_R = 2A\,\cos(\delta/2)$: màxima ($2A$) en fase i nul·la en oposició de fase.

Ones estacionàries

La superposició de dues ones idèntiques que viatgen en sentits oposats (per exemple, una ona i la seua reflectida) produeix una ona estacionària:

$$y(x,t) = 2A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t)$$

Ja no hi ha avanç del perfil: apareixen punts fixos en repòs, els nodes, i punts d'amplitud màxima, els ventres o antinodes. Les seues posicions són:

$$x_{\text{nodes}} = n\,\frac{\lambda}{2}, \qquad x_{\text{ventres}} = (2n+1)\,\frac{\lambda}{4}$$

En una corda de longitud $L$ fixa per ambdós extrems sols són possibles certes freqüències, els harmònics:

$$f_n = n\,\frac{v}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

El primer harmònic ($n=1$) és la freqüència fonamental; els altres determinen el timbre. Aquest és el fonament físic dels instruments de corda i de vent.

Pulsacions (batecs)

La superposició de dues ones de freqüències molt pròximes $f_1$ i $f_2$ produeix una oscil·lació l'amplitud de la qual varia lentament en el temps. La freqüència de pulsació és:

$$f_{\text{puls}} = |f_1 - f_2|$$

S'aprofita, per exemple, per a afinar instruments: quan desapareixen els batecs, les dues freqüències coincideixen.

5. Mètodes experimentals per al seu estudi

El caràcter abstracte de les ones fa especialment valuós el treball de laboratori. Entre les tècniques clàssiques i actuals destaquen:

• Cubeta d'ones (ripple tank): genera ones superficials en l'aigua i permet visualitzar de forma directa reflexió, refracció, difracció i interferència, projectant les crestes i valls sobre una pantalla.
• Experiment de Melde: una corda tensa unida a un vibrador de freqüència coneguda permet obtindre ones estacionàries i estudiar com depenen els harmònics de la tensió i de la densitat lineal, verificant $v=\sqrt{T/\mu}$.
• Tub de Kundt: mesura la velocitat del so en gasos o sòlids a partir de les ones estacionàries que es formen en una columna d'aire; els nodes es revelen per l'acumulació de pols de suro.
• Oscil·loscopi i micròfon: transformen l'ona sonora en un senyal elèctric visible, permetent mesurar amplitud, període i freqüència, i comparar timbres.
• Diapasó i tub de ressonància: produeixen tons purs i permeten determinar la velocitat del so en l'aire per ressonància d'una columna d'aire.
• Sonòmetre: mesura el nivell d'intensitat sonora en decibels, eina bàsica per a l'estudi del soroll.
• Programari d'anàlisi: programes lliures com Audacity (anàlisi espectral, transformada de Fourier) o Tracker (videoanàlisi d'ones) acosten el tractament quantitatiu a l'aula.

En tots els casos, l'anàlisi inclou la representació gràfica de les dades, la seua linealització quan escau i l'estimació d'incerteses.

6. El so com a exemple d'ones longitudinals

El so és una ona mecànica longitudinal que es propaga per un medi elàstic (gas, líquid o sòlid) com una successió de compressions i dilatacions, és a dir, de variacions locals de pressió i densitat. En ser mecànica, no es propaga en el buit: sense medi material no hi ha so.

Velocitat del so

En un gas, la velocitat ve donada per la fórmula de Laplace:

$$v = \sqrt{\frac{\gamma\,P}{\rho}}$$

on $\gamma$ és el coeficient adiabàtic i $P$ la pressió. En l'aire a $20\ \mathrm{^\circ C}$ val uns $343\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Depèn de la temperatura de forma aproximadament lineal:

$$v \approx 331 + 0{,}6\,t \quad (t \text{ en } \mathrm{^\circ C})$$

El so viatja més de pressa en els líquids i encara més en els sòlids, per la seua major rigidesa.

Qualitats del so

Les propietats subjectives del so es corresponen amb magnituds físiques de l' ona:

• Intensitat (sonoritat): lligada a l'amplitud. L'oïda abasta un rang enorme d'intensitats, per la qual cosa s'empra una escala logarítmica, el nivell d'intensitat sonora, mesurat en decibels (dB):

$$\beta = 10\,\log\frac{I}{I_0}, \qquad I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$$

sent $I_0$ el llindar d'audició. El llindar de dolor ronda els $120\ \mathrm{dB}$.

• To o altura: depèn de la freqüència. Els sons greus tenen baixa freqüència i els aguts, alta. L'oïda humana percep entre $20\ \mathrm{Hz}$ i $20\ \mathrm{kHz}$; per davall estan els infrasons i per damunt els ultrasons (emprats en ecografia, sonar o neteja industrial).
• Timbre: permet distingir dos sons d'igual to i intensitat emesos per focus distints. Depèn de la forma de l'ona, és a dir, dels harmònics que l'acompanyen; la seua anàlisi es deu al desenvolupament en sèrie de Fourier i al treball acústic de Helmholtz.

El so presenta tots els fenòmens ondulatoris: eco i reverberació (reflexió), ressonància (quan la freqüència excitadora coincideix amb una pròpia) i efecte Doppler.

7. Contaminació acústica

Es denomina contaminació acústica la presència de nivells de soroll —so molest o nociu— que deterioren la qualitat del medi ambient i la salut de les persones. És una de les formes de contaminació més esteses en entorns urbans i una de les menys percebudes, malgrat els seus efectes acumulatius.

Efectes sobre la salut

L'exposició prolongada a nivells elevats de soroll provoca pèrdua auditiva (a partir d'exposicions sostingudes per damunt de $80\text{–}85\ \mathrm{dB}$), a més d'efectes no auditius: estrés, alteracions del son, irritabilitat, dificultats de concentració i aprenentatge i trastorns cardiovasculars. Per a ponderar la resposta real de l'oïda humana s'empra l'escala dB(A), que atenua les freqüències a les quals l'oïda és menys sensible.

Fonts i regulació

Les principals fonts són el trànsit rodat, ferroviari i aeri, la indústria i l'oci nocturn. A Espanya, la Ley 37/2003 del Ruido i els seus reglaments, que transposen la Directiva 2002/49/CE, obliguen a elaborar mapes estratègics de soroll i plans d'acció en les grans aglomeracions.

Mesures correctores

Entre les estratègies de mitigació destaquen les pantalles i barreres acústiques, l'aïllament d'edificis, els paviments sonoreductors, la planificació urbana (separar zones residencials de focus sorollosos) i la conscienciació ciutadana. La contaminació acústica connecta el tema amb l' educació ambiental i amb els Objectius de Desenvolupament Sostenible.

Aplicació didàctica

En el currículum LOMLOE (Real Decreto 217/2022), el so i les ones s'introdueixen en l'ESO dins del bloc d'energia i les seues manifestacions —qualitats del so, propagació i contaminació acústica com a problema ambiental—, i es formalitzen matemàticament en Física i Química de 1r de Batxillerat i, sobre tot, en Física de 2n de Batxillerat, on s'aborda la funció d'ona, l' energia i els fenòmens ondulatoris amb ple rigor.

El tema és idoni per a desenvolupar la competència STEM i la competència digital (anàlisi de so amb oscil·loscopi virtual, apps d'espectre, videoanàlisi) i per a plantejar situacions d'aprenentatge al voltant de contextos reals: la música, les ecografies mèdiques, el sonar o el mapa de soroll del propi municipi, la qual cosa a més atén l'educació ambiental i per a la salut.

Convé anticipar les idees prèvies i errors freqüents: creure que les ones transporten matèria; pensar que el so es propaga en el buit (idea reforçada pel cinema); confondre amplitud amb freqüència (equiparar "més fort" amb "més agut"); o suposar que la velocitat del so depèn de la seua intensitat. El treball experimental amb la cubeta d'ones, la campana de buit i l'oscil·loscopi, i la interpretació de gràfiques, resulten especialment eficaços per a corregir aquestes concepcions alternatives.

Conclusió

Les ones en medis elàstics constitueixen un mecanisme universal de transport d' energia sense transport de matèria, descrit per una funció d'ona amb doble periodicitat espacial i temporal i per una velocitat que sols depèn del medi. L' energia que transporten es quantifica mitjançant la intensitat, que s'atenua amb la distància; els fenòmens de reflexió, refracció, difracció, interferència, polarització i efecte Doppler, junt amb el principi de superposició —origen d' ones estacionàries i pulsacions—, completen la seua descripció. El so exemplifica de forma privilegiada les ones longitudinals i connecta la física amb la percepció, la música i la salut, mentre que la contaminació acústica projecta el tema cap a la dimensió social i ambiental. Aquesta armadura conceptual és l'avantsala de l'estudi de la llum i de l'electromagnetisme, on les ones es alliberen de la necessitat d'un medi material.