Supòsit 60

Context. Institut d'una localitat gran, tres línies d'ESO i dues de batxillerat, de complexitat alta. Grup de 2n d'ESO amb 29 alumnes; una alumna que sovint presenta conductes contràries a la convivència i un altre alumne amb NEE derivades d'una discapacitat intel·lectual lleugera. Mateixa estratègia 1.4 i actuació 1.4.2 de la PGA.

Qüestió prèvia 1 — Selector de velocitats i espectròmetre de masses

Enunciat

Una partícula $\alpha$ entra en un selector de velocitats amb una velocitat de $2{,}3\cdot 10^{5}\ \mathrm{m/s}$ en direcció positiva de l'eix OX. El selector conté un camp magnètic, perpendicular a la velocitat, de $3{,}5\cdot 10^{-1}\ \mathrm{T}$ en direcció de l'eix OZ. Si la partícula $\alpha$ aconsegueix travessar el selector:

• a) (0,5p) Indica i justifica les forces que actuen sobre la partícula dins del selector.
• b) (0,8p) Calcula el mòdul del camp elèctric i indica'n direcció i sentit.
• c) (0,4p) Calcula la diferència de potencial del selector si les plaques estan separades 5 cm.
• d) (0,8p) En sortir, la partícula entra en un espectròmetre de masses amb el mateix camp magnètic. Calcula el radi de la trajectòria i indica en quin sentit gira.

Dades: $e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$; $m_\alpha = 6{,}64\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$. (Menyspreeu la força gravitatòria.)

Supòsit 2 · qüestió 1

Selector de velocitats: la força elèctrica compensa la magnètica

−

B ⊙

α

v

F_E

F_B

E

Solució

a) Dins del selector actuen dues forces (la gravitatòria és menyspreable): la força elèctrica $\vec F_E = q\vec E$ i la força magnètica $\vec F_B = q\vec v\times\vec B$. Perquè la partícula travessi sense desviar-se, han de cancel·lar-se: $\vec F_E = -\vec F_B$. Amb $\vec v$ en $+X$ i $\vec B$ en $+Z$, $\vec v\times\vec B = vB\,(\hat x\times\hat z) = -vB\,\hat y$; com que $q>0$, la força magnètica apunta cap a $-Y$ (avall). La força elèctrica ha d'apuntar cap a $+Y$ (amunt).

b) L'equilibri $qE = qvB$ dóna $E = vB$:

$$E = 2{,}3\cdot 10^{5}\cdot 0{,}35 = 8{,}05\cdot 10^{4}\ \mathrm{V/m}$$

dirigit en el sentit $+Y$ (cap amunt), de manera que sobre la càrrega positiva la força elèctrica compensi la magnètica.

c) Amb plaques separades $d = 5\ \mathrm{cm} = 0{,}05\ \mathrm{m}$ i camp uniforme:

$$\Delta V = E\,d = 8{,}05\cdot 10^{4}\cdot 0{,}05 = 4{,}0\cdot 10^{3}\ \mathrm{V} = 4025\ \mathrm{V}$$

d) A l'espectròmetre només actua el camp magnètic, que corba la trajectòria en un cercle amb $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, d'on $r = \dfrac{mv}{qB}$. La partícula $\alpha$ té càrrega $q = 2e = 3{,}2\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$:

$$r = \frac{6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot 2{,}3\cdot 10^{5}}{3{,}2\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}35} = 1{,}36\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} = 1{,}36\ \mathrm{cm}$$

Com que la força magnètica inicial apunta cap a $-Y$ (avall) mentre la partícula va cap a $+X$, la trajectòria es corba cap avall: la partícula gira en sentit horari (vista amb $B$ eixint del pla).

Qüestió prèvia 2 — pH de l'hipoclorit i precipitació de Cu(OH)₂

Aquesta qüestió ja havia caigut. És pràcticament idèntica a la qüestió 2 del Cas 2 de la prova pràctica de Catalunya de 2024: mateixos 80 m³, mateixos 149 g d'hipoclorit i mateix pH 7,2 per al coure. Argument de pes per estudiar-se les convocatòries anteriors de la mateixa comunitat.

Enunciat

L'hipoclorit de sodi s'usa per eliminar matèria orgànica i patògens a les piscines, i per controlar les algues es fan servir sals solubles de coure(II) com el sulfat de coure(II).

• a) (1,25p) Omplim una piscina amb 80 m³ d'aigua. Quin seria el pH si hi afegíssim 149 g d'hipoclorit de sodi? Suposeu l'aigua inicialment neutra i el volum constant.
• b) (1,25p) El pH d'una altra piscina és 7,2. Quina concentració màxima d'ions $\ce{Cu^2+}$ hi pot haver per evitar la precipitació de l'hidròxid de coure(II) en afegir-hi una sal soluble de coure(II)?

Dades: $T = 25\ ^\circ\mathrm{C}$; $\ce{NaClO}$ soluble; $A_r$: O=16,0; Na=23,0; Cl=35,5; $K_b(\ce{ClO-}) = 3{,}3\cdot 10^{-7}$; $K_w = 1{,}0\cdot 10^{-14}$; $K_{ps}(\ce{Cu(OH)2}) = 6{,}0\cdot 10^{-20}$.

Solució

a) La massa molar del $\ce{NaClO}$ és $23{,}0 + 35{,}5 + 16{,}0 = 74{,}5\ \mathrm{g/mol}$, així que

$$n(\ce{NaClO}) = \frac{149}{74{,}5} = 2{,}00\ \mathrm{mol}, \qquad c = \frac{2{,}00}{80\,000\ \mathrm{L}} = 2{,}5\cdot 10^{-5}\ \mathrm{M}$$

L'ió hipoclorit és una base feble, $\ce{ClO- + H2O <=> HClO + OH-}$, amb $K_b = \dfrac{[\ce{HClO}][\ce{OH-}]}{[\ce{ClO-}]} = 3{,}3\cdot 10^{-7}$. Resolent $K_b = \dfrac{x^2}{c-x}$ (l'aproximació $x\ll c$ no és del tot vàlida perquè la dissolució és molt diluïda, així que es resol l'equació de segon grau):

$$x = [\ce{OH-}] = \frac{-K_b + \sqrt{K_b^2 + 4K_b c}}{2} = 2{,}71\cdot 10^{-6}\ \mathrm{M}$$ $$\mathrm{pOH} = -\log(2{,}71\cdot 10^{-6}) = 5{,}57 \;\Longrightarrow\; \mathrm{pH} = 14 - 5{,}57 = 8{,}43$$

(El balanç complet incloent-hi l'autoionització de l'aigua dóna el mateix pH, 8,43: la contribució de l'aigua és menyspreable perquè $[\ce{OH-}]$ de la base és més de vint vegades $10^{-7}$.) La piscina queda lleugerament bàsica, com correspon a la sal d'un àcid feble (hipoclorós) i una base forta.

b) L'hidròxid de coure(II) precipita quan es rebassa el producte de solubilitat, $K_{ps} = [\ce{Cu^2+}][\ce{OH-}]^2$. A pH 7,2, $\mathrm{pOH} = 6{,}8$ i $[\ce{OH-}] = 10^{-6{,}8} = 1{,}585\cdot 10^{-7}\ \mathrm{M}$. La concentració màxima de $\ce{Cu^2+}$ just abans de precipitar és

$$[\ce{Cu^2+}]_\text{màx} = \frac{K_{ps}}{[\ce{OH-}]^2} = \frac{6{,}0\cdot 10^{-20}}{(1{,}585\cdot 10^{-7})^2} = 2{,}4\cdot 10^{-6}\ \mathrm{M}$$

Per damunt d'uns $2{,}4\cdot 10^{-6}\ \mathrm{M}$ de coure(II) començaria a precipitar $\ce{Cu(OH)2}$ i l'aigua es tornaria tèrbola.

Situació d'aprenentatge (orientació)

Igual que en el supòsit 1, és de resposta oberta. Ací se n'apunten els elements clau.

a) Sessió pràctica de separació de components d'una mescla per mètodes físics (2,5p). Muntatge d'estacions amb tècniques diferents (filtració, decantació amb embut de decantació, evaporació, cristal·lització, cromatografia en paper de tintes, separació magnètica), on cada grup justifica quin mètode aprofita quina propietat física. Cal concretar modalitat d'intervenció, estratègia metodològica (indagació guiada, treball cooperatiu amb rols), activitats i materials i atenció a la diversitat ajustada als dos perfils: per a l'alumne amb discapacitat intel·lectual lleugera, tasques seqüenciades en passos curts amb suport visual i objectius assolibles; per a l'alumna amb conductes contràries a la convivència, un rol de responsabilitat clar dins del grup, normes explícites i reforç positiu, aprofitant el treball manipulatiu com a element motivador.

b) Aprenentatges competencials (1p). Referenciar competències específiques de l'àmbit cientificotecnològic (indagació, ús de models, comunicació), criteris d'avaluació, objectius de la sessió (relacionar cada tècnica amb la propietat física que explota: mida, densitat, solubilitat, volatilitat, magnetisme), competències transversals i sabers sobre mescles i substàncies pures.

c) Avaluació (1,5p). Avaluació formativa i competencial amb rúbrica del treball experimental, observació directa de l'actitud i la cooperació (especialment rellevant amb el perfil de convivència) i una tasca d'aplicació on l'alumnat proposi com separaria una mescla nova.