Tema 26

La óptica geométrica describe la propagación de la luz cuando su longitud de onda es mucho menor que las dimensiones de los objetos e instrumentos con los que interacciona. En ese límite, los fenómenos difractivos e interferenciales resultan despreciables y la luz puede tratarse como un conjunto de rayos rectilíneos que se reflejan y refractan en las superficies. Con esta poderosa simplificación se explican la formación de imágenes, el funcionamiento de espejos, lentes e instrumentos ópticos y el propio mecanismo de la visión.

El tema ocupa un lugar central en el bloque de óptica del temario: proporciona las herramientas de trazado de rayos y las ecuaciones que gobiernan la formación de imágenes, y culmina en una aplicación de enorme valor formativo y cotidiano —el ojo humano y la corrección de sus defectos—. Históricamente, la óptica geométrica se consolidó en el siglo XVII con la ley de la refracción (Snell y Descartes) y con el principio de Fermat, que ofrece un fundamento variacional unificado del que se deducen todas las leyes elementales.

1. Óptica geométrica: leyes fundamentales

La óptica geométrica se construye sobre tres principios experimentales.

Propagación rectilínea. En un medio homogéneo e isótropo la luz se propaga en línea recta, hecho que justifica la formación de sombras y penumbras y el uso de la cámara oscura.

Índice de refracción. La velocidad de la luz en un medio material, $v$, es menor que en el vacío, $c$. Se define el índice de refracción como

El aire tiene $n \approx 1{,}0003$; el agua, $n \approx 1{,}33$; el vidrio común, $n \approx 1{,}5$. Como $n$ depende de la frecuencia de la luz (dispersión), un prisma descompone la luz blanca en sus colores.

Ley de la reflexión. El rayo reflejado está en el plano de incidencia y el ángulo de reflexión es igual al de incidencia, medidos ambos respecto a la normal:

Ley de la refracción (Snell–Descartes). Al pasar de un medio de índice $n_1$ a otro de índice $n_2$, el rayo se desvía según

Si la luz pasa a un medio más refringente ($n_2 > n_1$) se acerca a la normal; en el caso contrario se aleja de ella. Cuando la luz va de un medio más denso a otro menos denso, existe un ángulo límite $\theta_L$ a partir del cual el rayo ya no puede refractarse y se produce reflexión total interna:

Este fenómeno es la base de la fibra óptica y de los prismas de reflexión total usados en prismáticos.

2. Principio de Fermat

Las leyes anteriores pueden deducirse de un único enunciado, formulado por Pierre de Fermat hacia 1662. Se define el camino óptico entre dos puntos $A$ y $B$ como la integral del índice de refracción a lo largo de la trayectoria del rayo:

Como el tiempo empleado por la luz es $t = \Lambda/c$, el camino óptico es proporcional al tiempo de recorrido. El principio de Fermat establece que:

La trayectoria real que sigue la luz entre dos puntos es aquella para la cual el camino óptico es estacionario (habitualmente mínimo) frente a variaciones infinitesimales del camino.

En términos variacionales, $\delta\Lambda = 0$. En su versión histórica suele enunciarse como principio del tiempo mínimo.

Deducción de la ley de la refracción. Sea un rayo que va de $A$, situado a una altura $a$ en el medio $1$, a $B$, a una profundidad $b$ en el medio $2$, cruzando la interfaz a una distancia horizontal $x$. El tiempo total es

Imponiendo $\dfrac{dt}{dx} = 0$ resulta

y, sustituyendo $v_i = c/n_i$, se recupera la ley de Snell $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$. Un razonamiento análogo, con ambos puntos en el mismo medio, conduce a la ley de la reflexión $\theta_i = \theta_r$. El principio de Fermat proporciona así el fundamento teórico común de la óptica geométrica y anticipa los principios variacionales que dominarán la física posterior (mecánica de Lagrange y Hamilton).

3. Formación de imágenes en espejos y lentes

La formación de imágenes se estudia en la aproximación paraxial (rayos poco inclinados y próximos al eje óptico), donde $\sin\theta \approx \theta$. Se adopta el criterio de signos europeo (DIN): el origen se sitúa en el vértice o centro óptico, la luz incide de izquierda a derecha, las distancias se toman positivas en el sentido de propagación y las alturas positivas hacia arriba. Con este criterio, un objeto real situado a la izquierda tiene distancia $s < 0$.

Espejos esféricos

Para un espejo esférico de radio $r$, la relación entre la distancia objeto $s$, la distancia imagen $s'$ y la distancia focal $f' = r/2$ es

El aumento lateral vale

En un espejo cóncavo ($r<0$, $f'<0$) la imagen es real e invertida si el objeto está más allá del foco, y virtual, derecha y mayor si está entre el foco y el espejo (uso como espejo de aumento). En un espejo convexo ($r>0$, $f'>0$) la imagen es siempre virtual, derecha y menor, con amplio campo de visión (retrovisores).

Dioptrio esférico y lentes delgadas

Una superficie esférica que separa dos medios (dioptrio) forma imágenes según

Combinando dos dioptrios se obtiene la ecuación de las lentes delgadas:

La distancia focal se relaciona con las curvaturas mediante la ecuación del constructor de lentes (fórmula del fabricante):

La inversa de la focal es la potencia, medida en dioptrías ($\mathrm{m^{-1}}$):

El aumento lateral de una lente delgada es $\beta = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$. Las lentes convergentes ($f'>0$, más gruesas en el centro) forman imágenes reales de objetos lejanos; las divergentes ($f'<0$, más gruesas en los bordes) dan siempre imágenes virtuales, derechas y menores. El trazado de tres rayos principales (paralelo al eje $\to$ foco imagen; por el centro óptico sin desviarse; por el foco objeto $\to$ paralelo) permite construir gráficamente cualquier imagen.

4. Análisis y construcción de los instrumentos ópticos

Los instrumentos ópticos combinan espejos y lentes para ampliar el aumento angular —el tamaño aparente de un objeto— más allá de lo que permite el ojo desnudo.

La lupa (microscopio simple). Una lente convergente que, con el objeto dentro de la distancia focal, produce una imagen virtual y aumentada. Su aumento angular, tomando la distancia de visión nítida $d = 0{,}25\ \mathrm{m}$ (punto próximo), es

El microscopio compuesto. Un objetivo de focal muy corta forma una imagen real y aumentada que el ocular amplía como una lupa. El aumento total es el producto del aumento lateral del objetivo por el angular del ocular:

donde $L$ es la longitud del tubo. Permite observar estructuras microscópicas.

El telescopio y el anteojo astronómico. Para objetos lejanos, un objetivo de focal larga (lente en el refractor; espejo cóncavo en el reflector de Newton) y un ocular de focal corta con los focos coincidentes dan un aumento angular

Los reflectores evitan la aberración cromática y permiten grandes aperturas.

La cámara fotográfica y el proyector. Una lente convergente forma una imagen real sobre el sensor (o la pantalla). El diafragma regula la apertura y el enfoque se logra variando la distancia lente–sensor.

Los prismáticos son un anteojo doble que emplea prismas de reflexión total interna para plegar el camino óptico y enderezar la imagen. En todos estos instrumentos, el poder separador o resolución —capacidad de distinguir dos puntos próximos— queda finalmente limitado por la difracción, un fenómeno que la óptica geométrica no describe y que exige el modelo ondulatorio de la luz.

En el diseño real deben minimizarse las aberraciones: esférica, cromática (distintas focales según el color), coma, astigmatismo y distorsión. Se corrigen combinando lentes de distintos vidrios (dobletes acromáticos) y superficies asféricas.

5. El ojo y los defectos de la visión

El ojo humano es un sistema óptico natural. La luz atraviesa la córnea (que aporta la mayor parte de la potencia refractiva), el humor acuoso, la pupila —cuyo diámetro regula el iris— y el cristalino, una lente biconvexa de potencia variable, hasta formar una imagen real e invertida sobre la retina. Allí los fotorreceptores (conos y bastones) transducen la luz en impulsos nerviosos que el nervio óptico lleva al cerebro.

La acomodación es la capacidad del cristalino, gobernada por el músculo ciliar, de modificar su curvatura para enfocar objetos a distintas distancias sobre la retina. El ojo emétrope (normal) enfoca sin esfuerzo desde el punto remoto (infinito) hasta el punto próximo (unos $25\ \mathrm{cm}$ en el adulto joven).

Los principales defectos de la visión y su corrección son:

• Miopía. El ojo es demasiado convergente o largo; la imagen se forma delante de la retina y el punto remoto se acerca. Se corrige con lentes divergentes ($P < 0$).
• Hipermetropía. El ojo es poco convergente o corto; la imagen tiende a formarse detrás de la retina y el punto próximo se aleja. Se corrige con lentes convergentes ($P > 0$).
• Presbicia (vista cansada). Pérdida de acomodación por rigidez del cristalino con la edad; aleja el punto próximo. Se corrige con lentes convergentes para la visión cercana (a menudo progresivas o bifocales).
• Astigmatismo. Curvatura desigual de la córnea según la dirección; los rayos de distintos planos no enfocan a la vez. Se corrige con lentes cilíndricas o tóricas.
• Daltonismo. Deficiencia en la percepción del color por alteración de los conos; no es un defecto de enfoque y no se corrige con lentes.

Para calcular la lente correctora se impone que la imagen de un objeto situado donde el ojo defectuoso la necesita coincida con la que un ojo normal enfocaría; por ejemplo, en la miopía la lente debe llevar el infinito hasta el punto remoto $R$ del ojo, de modo que $P = 1/f' = -1/|R|$.

Aplicación didáctica

En el currículo LOMLOE (Real Decreto 217/2022), los fenómenos ópticos se introducen de forma cualitativa en la ESO —reflexión, refracción, descomposición de la luz, formación de imágenes y el ojo— y se formalizan cuantitativamente en 2.º de Bachillerato dentro del bloque de óptica de Física. Es un tema idóneo para desarrollar la competencia STEM y la competencia digital, mediante el trazado de rayos, la construcción de imágenes con lentes reales o con simuladores (por ejemplo, los de PhET) y prácticas de laboratorio con banco óptico, espejos y lentes.

Conviene anticipar las ideas previas y errores frecuentes: creer que vemos porque de los ojos “sale” algo hacia los objetos (modelo emisor, ya refutado en la Antigüedad); confundir imagen real y virtual; pensar que tapar media lente elimina media imagen (en realidad reduce el brillo, no el campo); o suponer que la imagen en la retina se “ve” derecha cuando en realidad es invertida y el cerebro la reinterpreta. El uso de diagramas de rayos, simulaciones y experiencias con la propia visión (punto próximo, punto ciego) resulta muy eficaz para corregir estas concepciones alternativas. El estudio del ojo, además, favorece la conexión interdisciplinar con la Biología y la educación para la salud visual.

Conclusión

La óptica geométrica ofrece un modelo simple y potentísimo —la luz como rayos— que, apoyado en las leyes de la reflexión y la refracción y unificado por el principio de Fermat, explica cuantitativamente la formación de imágenes en espejos y lentes. De esas ecuaciones básicas surgen el diseño de todos los instrumentos ópticos, desde la lupa al telescopio, y la comprensión del ojo humano y de la corrección de sus defectos. El tema articula así teoría fundamental, aplicación tecnológica y un contexto cotidiano de gran valor formativo, y sirve de puente hacia la óptica física, donde el carácter ondulatorio de la luz —difracción e interferencias— completa el cuadro que la aproximación geométrica deliberadamente ignora.