Supuesto 42

Enunciado

Tenemos 4 moles de un gas ideal ($C_v = 3\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$) que realiza el ciclo de la figura, donde el proceso BC es una compresión isoterma. Calcular para cada etapa del ciclo, el trabajo, el calor y la variación de energía interna.

Datos: $1\ \mathrm{atm} = 101325\ \mathrm{Pa}$; $R = 8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} = 1{,}987\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$; $1\ \mathrm{cal} = 4{,}18\ \mathrm{J}$.

Problema 2

Ciclo A → B → C → A en el diagrama p–V

A

B

C

1

2

3

8

4

8,2

16,4

p (atm)

V (L)

Solución

Identificación de los tres estados

Del diagrama se leen los estados: A $(8{,}2\ \mathrm{L};\ 4\ \mathrm{atm})$, B $(16{,}4\ \mathrm{L};\ 4\ \mathrm{atm})$ y C $(8{,}2\ \mathrm{L};\ 8\ \mathrm{atm})$. Con $n = 4\ \mathrm{mol}$ y $T = pV/nR$:

$$T_\mathrm{A} = \frac{4\cdot 101325\cdot 8{,}2\cdot 10^{-3}}{4\cdot 8{,}314} = 100\ \mathrm{K}, \qquad T_\mathrm{B} = T_\mathrm{C} = 200\ \mathrm{K}$$

lo que confirma que BC es efectivamente una isoterma ($p_\mathrm{B}V_\mathrm{B} = p_\mathrm{C}V_\mathrm{C} = 65{,}6\ \mathrm{atm\,L}$). Adoptamos el criterio $\Delta U = Q - W$, con $W$ el trabajo realizado por el gas. Como $C_v = 3\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$, se tiene $nC_v = 12\ \mathrm{cal\,K^{-1}}$ y $C_p = C_v + R = 4{,}987\ \mathrm{cal\,mol^{-1}K^{-1}}$.

Etapa 1: A → B (expansión isóbara, 100 K → 200 K)

$$W_1 = p\,\Delta V = 4\cdot 101325\cdot (16{,}4-8{,}2)\cdot 10^{-3} = 3324\ \mathrm{J} = 795\ \mathrm{cal}$$ $$\Delta U_1 = nC_v\Delta T = 12\cdot 100 = 1200\ \mathrm{cal} = 5016\ \mathrm{J}$$ $$Q_1 = \Delta U_1 + W_1 = 1200 + 795 = 1995\ \mathrm{cal} = 8339\ \mathrm{J}$$

Comprobación: $Q_1 = nC_p\Delta T = 4\cdot 4{,}987\cdot 100 = 1995\ \mathrm{cal}$. El gas se expande, absorbe calor y se calienta.

Etapa 2: B → C (compresión isoterma a 200 K)

Al no variar la temperatura de un gas ideal, $\Delta U_2 = 0$ y todo el trabajo se intercambia como calor:

$$W_2 = nRT\ln\frac{V_\mathrm{C}}{V_\mathrm{B}} = 4\cdot 1{,}987\cdot 200\cdot \ln\frac{8{,}2}{16{,}4} = 1589{,}6\cdot(-0{,}693) = -1102\ \mathrm{cal} = -4605\ \mathrm{J}$$ $$\Delta U_2 = 0, \qquad Q_2 = W_2 = -1102\ \mathrm{cal} = -4605\ \mathrm{J}$$

El signo negativo indica que se realiza trabajo sobre el gas y que este cede esa misma energía al entorno en forma de calor.

Etapa 3: C → A (enfriamiento isócoro, 200 K → 100 K)

$$W_3 = 0 \quad (\Delta V = 0), \qquad \Delta U_3 = Q_3 = nC_v\Delta T = 12\cdot(-100) = -1200\ \mathrm{cal} = -5016\ \mathrm{J}$$

Balance del ciclo

| Etapa | $W$ (cal) | $Q$ (cal) | $\Delta U$ (cal) | | --------------- | --------------- | --------------- | ---------------- | | 1. A→B isóbara | $+795$ | $+1995$ | $+1200$ | | 2. B→C isoterma | $-1102$ | $-1102$ | $0$ | | 3. C→A isócora | $0$ | $-1200$ | $-1200$ | | Ciclo | $\mathbf{-307}$ | $\mathbf{-307}$ | $\mathbf{0}$ |

La energía interna es función de estado, luego $\Delta U_\text{ciclo} = 0$ y necesariamente $Q_\text{ciclo} = W_\text{ciclo}$: la coincidencia de ambos totales valida los cálculos. El trabajo neto es negativo ($-307\ \mathrm{cal} = -1283\ \mathrm{J}$) porque el ciclo se recorre en sentido antihorario en el diagrama $p$–$V$: no es una máquina térmica, sino un ciclo consumidor de trabajo del tipo frigorífico.