Supuesto 29

Cuestión 1 — Fracción molar de metanol en el equilibrio

Enunciado

Para la reacción $\ce{CO(g) + 2 H2(g) <=> CH3OH(g)}$, si se introduce una mezcla de CO y $\ce{H2}$ en proporciones estequiométricas, calcular: a) la fracción molar del metanol en el equilibrio, a 1 atm y 298,15 K; b) ¿el valor de $K_c$ será mayor que el de $K_p$?

Datos: $\Delta G^\circ_{\ce{CH3OH}(g)} = -162{,}51\ \mathrm{kJ/mol}$; $\Delta G^\circ_{\ce{CO}(g)} = -137{,}28\ \mathrm{kJ/mol}$; $R = 8{,}31\ \mathrm{J/(mol\,K)}$.

Solución

a) Primero la constante, a partir de la energía libre estándar de reacción:

$$\Delta G^\circ = -162{,}51 - (-137{,}28) - 2(0) = -25{,}23\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$ $$K_p = e^{-\Delta G^\circ/RT} = e^{25230/(8{,}31\cdot 298{,}15)} = e^{10{,}18} = 2{,}65\cdot 10^{4}$$

Como la mezcla parte estequiométrica, CO y $\ce{H2}$ permanecen en relación 1:2 en todo momento. Si $\chi$ es la fracción molar de metanol, $\chi_{\ce{CO}} = (1-\chi)/3$ y $\chi_{\ce{H2}} = 2(1-\chi)/3$, y con $P = 1\ \mathrm{atm}$ las presiones parciales coinciden con las fracciones:

$$K_p = \frac{\chi}{\dfrac{1-\chi}{3}\left(\dfrac{2(1-\chi)}{3}\right)^2} = \frac{27\,\chi}{4(1-\chi)^3}$$ $$\frac{27\,\chi}{4(1-\chi)^3} = 2{,}65\cdot 10^{4} \;\Longrightarrow\; \boxed{\chi_{\ce{CH3OH}} = 0{,}938}$$

A temperatura ambiente el equilibrio está muy desplazado hacia el metanol: casi el 94 % de las moléculas. El problema industrial no es termodinámico sino cinético —a 298 K la reacción es inobservablemente lenta—, y al subir la temperatura para acelerarla se pierde rendimiento, como cuantifica la cuestión siguiente.

b) Con $\Delta n = 1 - 3 = -2$:

$$K_c = K_p\,(RT)^{-\Delta n} = K_p (RT)^{2} = 2{,}65\cdot 10^{4}\cdot(0{,}0821\cdot 298{,}15)^2 = 1{,}59\cdot 10^{7}$$

Sí, $K_c > K_p$. La razón general: como $\Delta n < 0$ y $RT > 1$ en las unidades habituales (L·atm/mol), el factor $(RT)^{2}$ amplifica el valor. Es un buen recordatorio de que $K_p$ y $K_c$ solo coinciden cuando $\Delta n = 0$, y de que sus unidades son distintas.

Cuestión 2 — Temperatura para una fracción molar de 0,50

Enunciado

a) ¿A qué temperatura la fracción molar del metanol en el equilibrio será igual a 0,50 si la presión es de 1 atm? Suponer válida la ecuación de Van't Hoff. b) ¿Una disminución de la temperatura supondrá un aumento de las constantes de equilibrio?

Datos: $\Delta H^\circ_{\ce{CH3OH}(g)} = -200{,}66\ \mathrm{kJ/mol}$; $\Delta H^\circ_{\ce{CO}(g)} = -110{,}52\ \mathrm{kJ/mol}$.

Solución

a) Con la misma relación del apartado anterior, la constante que corresponde a $\chi = 0{,}50$ es

$$K_2 = \frac{27(0{,}50)}{4(0{,}50)^3} = 27$$

y la entalpía de reacción vale

$$\Delta H^\circ = -200{,}66 - (-110{,}52) = -90{,}14\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$$

Aplicando Van't Hoff entre $T_1 = 298{,}15\ \mathrm{K}$ (con $K_1 = 2{,}65\cdot 10^{4}$) y $T_2$:

$$\ln\frac{K_2}{K_1} = -\frac{\Delta H^\circ}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right) \;\Longrightarrow\; \ln\frac{27}{2{,}65\cdot 10^{4}} = -6{,}89 = \frac{90140}{8{,}31}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)$$ $$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{298{,}15} - 6{,}35\cdot 10^{-4} = 2{,}719\cdot 10^{-3} \;\Longrightarrow\; \boxed{T_2 = 368\ \mathrm{K} = 94{,}6\ ^\circ\mathrm{C}}$$

Comprobación de coherencia, imprescindible aquí porque es donde se cuelan los errores de signo: la reacción es exotérmica, así que subir la temperatura debe reducir $K$ y con ella el rendimiento; en efecto, $T_2 > T_1$ y $\chi$ ha bajado de 0,938 a 0,50. Recalculando $K$ a 368 K con la propia ecuación se recupera exactamente 27.

b) Sí. Al ser $\Delta H^\circ < 0$ (exotérmica), una disminución de temperatura aumenta las constantes de equilibrio y desplaza el equilibrio hacia el metanol. Es la lectura cuantitativa del principio de Le Châtelier: bajando $T$ el sistema responde favoreciendo la reacción que desprende calor. En la práctica industrial esto se traduce en trabajar a la temperatura más baja que permita el catalizador (unos 250 ºC con $\ce{Cu/ZnO/Al2O3}$) y compensar la pérdida de rendimiento con presiones de 50-100 atm, que por Le Châtelier también favorecen el lado de menos moles de gas.

Intervención didáctica (orientación)

Contexto: IES de extrarradio, alumnado también de zonas de renta alta de municipios colindantes. Red InnovAS (eje STEAM) y capacitación digital; sí hay laboratorio y aulas de informática. Grupo de 4.º de ESO de 28 estudiantes, con un alumno TDAH, 12 con poca destreza matemática, cuatro con actitudes disruptivas y una estudiante INTARSE; grupo desmotivado hacia la teoría y con niveles muy dispares. Se pide un proyecto interdisciplinar partiendo del texto sobre metanol verde (biometanol y e-metanol), para trabajar los Bloques I («Destrezas científicas básicas») y III («El cambio»), con las materias de Física y Química, Biología y Geología y Digitalización (3 h semanales cada una), orientado a productos que impliquen a las demás áreas y conecten con los ODS 3, 7, 9 y 13.

Claves de una buena respuesta:

• Interdisciplinariedad real, con reparto explícito: en Física y Química, la electrólisis del agua (práctica de laboratorio directamente conectada con el hidrógeno verde) y la estequiometría de la síntesis; en Biología y Geología, la biomasa y los ciclos del carbono; en Digitalización, el tratamiento de datos y la producción del material de difusión. Conviene fijar qué evalúa cada materia para que no sea un proyecto de una asignatura con adornos.
• Aprovechar que hay laboratorio: es la diferencia con el supuesto 1, y el enunciado lo menciona a propósito. La electrólisis del agua con una fuente y electrodos de grafito es barata, visual y permite medir volúmenes en relación 2:1, conectando con el Bloque I.
• Los 12 con poca destreza matemática condicionan el diseño: hay que graduar el cálculo (proporciones y factores de conversión antes que ecuaciones), usar hojas de cálculo para descargar la carga aritmética y priorizar la interpretación sobre la manipulación algebraica.
• TDAH y conductas disruptivas: tareas segmentadas con hitos cortos y visibles, rol rotatorio con responsabilidad concreta, y refuerzo positivo frecuente. El trabajo experimental es un buen aliado motivacional, pero exige normas de laboratorio explícitas y pautadas.
• ODS como marco evaluable, no decorativo: pedir que cada producto final justifique con qué ODS concreto se relaciona y con qué evidencia.