Supuesto 25

Enunciado

En un experimento de laboratorio se cultiva una levadura en un sistema cerrado de 4,0 L a 305 K. La levadura metaboliza un compuesto orgánico soluble, según la reacción global simplificada:

$$\ce{C4H10O4(aq) + O2(g) -> CO2(g) + H2O(l)}$$

Inicialmente, el sistema contiene 0,080 moles de $\ce{C4H10O4}$, 0,30 moles de $\ce{O2}$ y 0,70 moles de $\ce{N2}$.

a) Determina cuál es el reactivo limitante. (4 puntos) b) Determina la composición final en moles de la mezcla gaseosa. (4 puntos) c) Calcula la presión total final del sistema y las presiones parciales de cada gas. (4 puntos) d) Posteriormente, el $\ce{CO2}$ producido se pone en contacto con una disolución acuosa en la que se disuelve completamente. Determina la nueva presión total del sistema gaseoso después de la desaparición del $\ce{CO2}$. (3 puntos) e) Explica cualitativamente: 1. ¿Cómo afecta la presencia de $\ce{N2}$ a la presión total? 2. ¿Por qué el hecho de que los moles de $\ce{CO2}$ producidos y de $\ce{O2}$ consumidos sean diferentes afecta a la evolución de la presión del sistema? (2 y 3 puntos)

(Datos: $R = 0{,}082$ atm·L·mol⁻¹·K⁻¹)

Solución

Paso cero, que el enunciado no pide pero es imprescindible: ajustar. La ecuación tal como viene escrita no está ajustada. Con $\ce{C4H10O4}$:

$$\ce{C4H10O4(aq) + 9/2 O2(g) -> 4 CO2(g) + 5 H2O(l)}$$

o bien $\ce{2 C4H10O4 + 9 O2 -> 8 CO2 + 10 H2O}$. Comprobación de oxígenos: $4 + 9 = 13$ a la izquierda, $8 + 5 = 13$ a la derecha. ✔

a) Reactivo limitante. Los 0,080 mol de sustrato necesitarían $0{,}080 \cdot \tfrac{9}{2} = 0{,}360$ mol de $\ce{O2}$, y solo hay 0,30. Por tanto el oxígeno es el reactivo limitante (y el sustrato, el exceso). Es lo que pasa de verdad en un cultivo cerrado: la levadura se queda sin oxígeno mucho antes que sin azúcar, y por eso pasa a fermentar.

b) Composición final. El avance de reacción lo fija el oxígeno: $\xi = 0{,}30/4{,}5 = 6{,}67\cdot 10^{-2}$ mol.

| Especie | Inicial (mol) | Final (mol) | Fase | | -------------- | ------------- | ----------- | ------------ | | $\ce{C4H10O4}$ | 0,080 | 0,0133 | acuosa | | $\ce{O2}$ | 0,30 | 0 | gas | | $\ce{CO2}$ | 0 | 0,267 | gas | | $\ce{H2O}$ | — | 0,333 | líquida | | $\ce{N2}$ | 0,70 | 0,70 | gas (inerte) |

En la mezcla gaseosa solo quedan $0{,}267 + 0{,}70 = 0{,}967$ mol: ni el sustrato (acuoso) ni el agua (líquida) cuentan.

c) Presiones. Con $RT/V = 0{,}082\cdot 305/4{,}0 = 6{,}253$ atm·mol⁻¹:

$$p_{\text{total}} = \frac{n_{\text{gas}}RT}{V} = 0{,}9667 \cdot 6{,}253 = \boxed{6{,}04\ \mathrm{atm}}$$ $$p(\ce{CO2}) = 0{,}2667\cdot 6{,}253 = 1{,}67\ \mathrm{atm}, \qquad p(\ce{N2}) = 0{,}70\cdot 6{,}253 = 4{,}38\ \mathrm{atm}$$

que suman 6,04 atm, como manda la ley de Dalton.

d) Tras disolver el $\ce{CO2}$. Solo queda el nitrógeno:

$$p_{\text{total}} = p(\ce{N2}) = \boxed{4{,}38\ \mathrm{atm}}$$

La presión cae un 28 %.

e) Razonamiento cualitativo.

1. El $\ce{N2}$ y la presión total. El nitrógeno no reacciona, pero ocupa volumen y choca contra las paredes: aporta su presión parcial (4,38 atm, el 72 % del total) a la suma de Dalton. Ahora bien, como su cantidad no cambia, no influye nada en la variación de presión debida a la reacción: actúa como un pedestal constante. Si esta fuera una reacción en equilibrio, tampoco lo desplazaría a volumen constante.
2. Por qué baja la presión. Por cada 4,5 mol de $\ce{O2}$ consumidos solo se producen 4 de $\ce{CO2}$: $\Delta n_{\text{gas}} = 4 - 4{,}5 = -0{,}5$ por mol de sustrato. El motivo es que cinco de los productos se van en fase líquida (el agua) y el sustrato era acuoso. En números: se pasa de $0{,}30 + 0{,}70 = 1{,}00$ mol de gas a 0,967, y la presión baja de 6,25 a 6,04 atm (un 3,3 %). Si la relación hubiera sido 1:1 —como en la respiración de la glucosa— la presión se habría mantenido constante. Esta es, de hecho, la base de los respirómetros: se mide el consumo de oxígeno absorbiendo el $\ce{CO2}$ con $\ce{KOH}$ y observando la caída de presión, exactamente el apartado d).