Supuesto 5

Práctica de óptica geométrica en banco óptico. El objetivo es determinar la distancia focal de una lente delgada convergente a partir de pares de distancias objeto-imagen y, como extensión, estimar el índice de refracción del vidrio con la ecuación del constructor de lentes. El fundamento es la ecuación de las lentes delgadas y la formación de imágenes reales, que el alumnado puede comprobar además mediante la construcción gráfica de rayos.

Enunciado

En el laboratorio se dispone de un banco óptico graduado en milímetros sobre el que se montan, alineados, una fuente luminosa con un objeto (una flecha iluminada o una "F" recortada), una lente convergente en su soporte y una pantalla blanca. Se pide diseñar el procedimiento y determinar experimentalmente la distancia focal $f$ de la lente, expresando el resultado con su incertidumbre, y estimar el índice de refracción $n$ del material sabiendo que la lente es biconvexa simétrica de radio $R$ medido con un esferómetro.

Material e instrumentos:

• Banco óptico con regla milimetrada y tres jinetes deslizantes.
• Fuente luminosa con objeto (flecha o rendija iluminada).
• Lente delgada convergente montada en soporte.
• Pantalla translúcida o blanca.
• Esferómetro (para el radio de curvatura) y regla auxiliar.

Desarrollo

Fundamento teórico

Para una lente delgada, adoptando el convenio de distancias positivas para objeto e imagen reales, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia objeto $s$, la distancia imagen $s'$ y la focal $f$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s'} \qquad\Longrightarrow\qquad f = \frac{s\,s'}{s+s'}$$

El aumento lateral es $\beta = -\dfrac{s'}{s}$; su signo negativo indica que, para un objeto situado más allá del foco, la lente convergente forma una imagen real e invertida. Si $s'$ es menor que $s$, la imagen es además de menor tamaño.

Construcción gráfica. Para localizar la imagen de la punta de la flecha se trazan tres rayos principales desde ella: (1) un rayo paralelo al eje que, tras la lente, pasa por el foco imagen $F'$; (2) un rayo que atraviesa el centro óptico sin desviarse; (3) un rayo que pasa por el foco objeto $F$ y emerge paralelo al eje. El punto donde se cortan los rayos refractados fija la posición y el tamaño de la imagen, y confirma gráficamente el resultado numérico.

Para el índice de refracción se emplea la ecuación del constructor de lentes:

$$\frac{1}{f} = (n-1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

que, para una lente biconvexa simétrica ($R_1 = R$, $R_2 = -R$), se reduce a $\dfrac{1}{f} = (n-1)\dfrac{2}{R}$, de donde:

$$n = 1 + \frac{R}{2f}$$

Montaje y procedimiento

1. Alinear fuente, lente y pantalla sobre el banco, con los centros a la misma altura y el eje óptico horizontal.
2. Fijar el objeto en un extremo y anotar su posición sobre la regla.
3. Situar la lente a una distancia objeto $s$ conocida y desplazar la pantalla hasta obtener la imagen más nítida posible; leer la posición de la pantalla y calcular $s'$.
4. Repetir para varias distancias objeto (de 20 a 40 cm), tomando siempre la medida desde el plano de la lente.
5. Medir el radio de curvatura $R$ de las caras con el esferómetro.

Tratamiento de datos y errores

Con cada par $(s, s')$ se calcula la focal mediante $f = s\,s'/(s+s')$:

| $s$ (cm) | $s'$ (cm) | $f$ (cm) | | :---: | :---: | :---: | | $20{,}0$ | $30{,}2$ | $12{,}03$ | | $25{,}0$ | $23{,}0$ | $11{,}98$ | | $30{,}0$ | $20{,}1$ | $12{,}04$ | | $35{,}0$ | $18{,}2$ | $11{,}97$ | | $40{,}0$ | $17{,}0$ | $11{,}93$ |

El valor medio es $\bar{f} = 11{,}99\ \mathrm{cm}$. Como método gráfico alternativo se representa $1/s'$ frente a $1/s$: los puntos se ajustan a la recta $\dfrac{1}{s'} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{s}$, de pendiente $-1$, cuya ordenada en el origen vale $1/f$; esto proporciona una determinación independiente de la focal.

Propagación de la incertidumbre

La dispersión estadística de la media es pequeña, pero infravalora el error real, pues la principal fuente de incertidumbre es la localización de la imagen nítida (existe un intervalo de enfoque). Propagamos por tanto la incertidumbre en un par representativo, $s = 30{,}0 \pm 0{,}1\ \mathrm{cm}$ y $s' = 20{,}0 \pm 0{,}3\ \mathrm{cm}$. Derivando $f = s\,s'/(s+s')$:

$$\Delta f = \sqrt{\left(\frac{s'^2}{(s+s')^2}\,\Delta s\right)^2 + \left(\frac{s^2}{(s+s')^2}\,\Delta s'\right)^2}$$

Los coeficientes valen $s'^2/(s+s')^2 = 0{,}16$ y $s^2/(s+s')^2 = 0{,}36$, de modo que:

$$\Delta f = \sqrt{(0{,}16\times 0{,}1)^2 + (0{,}36\times 0{,}3)^2} = \sqrt{0{,}016^2 + 0{,}108^2} = 0{,}11\ \mathrm{cm}$$

El término de $s'$ domina claramente, como cabía esperar. Redondeando la incertidumbre a una cifra significativa, el resultado se expresa:

$$f = (12{,}0 \pm 0{,}1)\ \mathrm{cm} \qquad (\varepsilon_r \approx 0{,}9\,\%)$$

Índice de refracción

Con un radio medido $R = 12{,}0 \pm 0{,}2\ \mathrm{cm}$ y la focal anterior:

$$n = 1 + \frac{R}{2f} = 1 + \frac{12{,}0}{2\times 12{,}0} = 1{,}50$$

Propagando en $n - 1 = R/(2f)$ por cocientes:

$$\Delta n = (n-1)\sqrt{\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\Delta f}{f}\right)^2} = 0{,}50\cdot\sqrt{0{,}0167^2 + 0{,}0083^2} = 0{,}009$$

de modo que $n = 1{,}50 \pm 0{,}01$, valor coherente con el de un vidrio crown ($n \approx 1{,}5$).

Comentario didáctico

La práctica corresponde a la óptica geométrica de 2.º de Bachillerato (Física) y es adaptable de forma cualitativa en la ESO. Desarrolla la competencia STEM y, muy especialmente, la indagación experimental y el tratamiento riguroso de datos e incertidumbres: medir, tabular, ajustar gráficamente y expresar el resultado con sus cifras significativas. La doble vía —numérica con la ecuación de lentes y gráfica con el trazado de rayos— permite al opositor mostrar cómo se contrasta un modelo con la experiencia.

Errores y precauciones típicos:

• Medir las distancias desde el borde del soporte y no desde el plano de la lente.
• Aceptar como nítida cualquier imagen dentro de un intervalo de enfoque amplio: es la fuente de error dominante; conviene estimar el punto medio de dicho intervalo.
• Confundir el convenio de signos al traducir a la formulación DIN.
• Trabajar con luz ambiente excesiva, que reduce el contraste; conviene penumbra.
• Suponer válida la aproximación de lente delgada cuando el grosor no es despreciable frente a los radios de curvatura.