Supuesto 6

Una práctica de análisis instrumental que articula la ley de Lambert-Beer con el tratamiento estadístico de una serie de patrones. El objetivo es construir una recta de calibrado por mínimos cuadrados y, mediante interpolación, determinar la concentración de una muestra problema acompañada de su incertidumbre. El fundamento es que, en el intervalo lineal, la absorbancia de una disolución coloreada es directamente proporcional a la concentración del analito.

Enunciado

En el laboratorio se dispone de una disolución patrón de permanganato de potasio y se desea determinar la concentración de una muestra problema de la misma especie. El $\mathrm{MnO_4^{-}}$ presenta un máximo de absorción a $\lambda = 525\ \mathrm{nm}$, que es la longitud de onda de trabajo. A partir del patrón se preparan por dilución cinco disoluciones de concentración conocida y se mide su absorbancia frente a un blanco de agua destilada en cubeta de $b = 1{,}00\ \mathrm{cm}$.

Objetivo. Obtener la recta de calibrado $A = m\,c + b_0$, evaluar su linealidad y determinar la concentración de la muestra problema con su incertidumbre.

Material e instrumentos. Espectrofotómetro UV-visible, cubetas de $1\ \mathrm{cm}$, matraces aforados y pipetas aforadas, disolución patrón de $\mathrm{KMnO_4}$, agua destilada como blanco.

Datos experimentales:

La muestra problema, medida por triplicado ($k = 3$), da una absorbancia media $A_s = 0{,}402$.

Desarrollo

Fundamento teórico

La absorbancia se define a partir de la fracción de radiación transmitida y se relaciona con la concentración mediante la ley de Lambert-Beer:

donde $\varepsilon$ es la absortividad molar (característica de la especie a esa longitud de onda), $b$ el camino óptico y $c$ la concentración. La ley es lineal solo en un intervalo limitado; a concentraciones altas aparecen desviaciones (normalmente por encima de $A \approx 1$) por interacciones entre partículas, luz parásita y anchura espectral finita. Por ello se trabaja siempre dentro de la zona de validez y se interpola, nunca se extrapola.

Recta de calibrado por mínimos cuadrados

Ajustando $A = m\,c + b_0$ se minimiza la suma de cuadrados de los residuos. Los estimadores son:

Con los datos, $\bar c = 1{,}50\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$ y $\bar A = 0{,}3518$, resultan $S_{cc} = 2{,}50\times 10^{-8}\ \mathrm{mol^2\,L^{-2}}$ y $S_{cA} = 5{,}855\times 10^{-5}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$, de modo que:

Como $b = 1\ \mathrm{cm}$, la pendiente equivale a la absortividad molar: $\varepsilon = m/b = 2{,}34\times 10^{3}\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}$, valor coherente con el del permanganato a $525\ \mathrm{nm}$. La ordenada en el origen es prácticamente nula, lo que confirma que el blanco corrige bien la señal de fondo.

Procedimiento

Se selecciona $525\ \mathrm{nm}$, se ajusta el cero de absorbancia con el blanco y se mide cada patrón del más diluido al más concentrado, enjuagando la cubeta con la disolución correspondiente. Se representa $A$ frente a $c$, se ajusta la recta y por último se mide la muestra problema por triplicado bajo idénticas condiciones.

Tratamiento de datos y errores

Linealidad e interpolación

El coeficiente de correlación de Pearson es:

que indica una linealidad excelente. La concentración de la muestra se obtiene despejando en la recta:

Propagación de la incertidumbre

La dispersión del ajuste se mide con la desviación típica residual, donde $d_i$ son los residuos y $n-2$ los grados de libertad:

La incertidumbre de la concentración interpolada, para una muestra medida $k$ veces frente a $n$ patrones, es:

Sustituyendo $k = 3$, $n = 5$, $A_s = 0{,}402$ y $\bar A = 0{,}3518$ se obtiene $s_{c} = 0{,}008\times 10^{-4}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$. El término dominante es el del número de réplicas: aumentar $k$ reduce la incertidumbre.

Cifras significativas y expresión final

La incertidumbre típica limita la última cifra significativa a las milésimas (en unidades de $10^{-4}$). El resultado se expresa como:

Para un intervalo de confianza del $95\ \%$ con la $t$ de Student ($n-2 = 3$ grados de libertad, $t = 3{,}18$):

En concentración másica, equivale a $27{,}1\ \mathrm{mg\,L^{-1}}$ de $\mathrm{KMnO_4}$. La incertidumbre relativa es del orden del $0{,}5\ \%$, dominada por la propia recta de calibrado y no por la lectura del aparato.

Comentario didáctico

El supuesto es idóneo para $2^{\circ}$ de Bachillerato (Química) y para los ciclos formativos de análisis, y conecta la ley de Lambert-Beer con el tratamiento estadístico de datos experimentales. Desarrolla la competencia matemática y en ciencia y tecnología: manejo de instrumentos, ajuste por mínimos cuadrados, propagación de incertidumbre y expresión rigurosa del resultado con sus cifras significativas.

Entre los errores y precauciones típicos conviene advertir: trabajar fuera del intervalo lineal midiendo absorbancias demasiado altas; no ajustar el blanco o tocar las caras ópticas de la cubeta dejando huellas; confundir absorbancia con transmitancia; extrapolar más allá del último patrón en lugar de diluir la muestra; y, sobre todo, dar la concentración como un número exacto sin incertidumbre. Merece mención la seguridad: el permanganato es un oxidante fuerte que mancha y debe manipularse con precaución. Insistir en la interpolación frente a la extrapolación y en la comprobación de $r^{2}$ como criterio de calidad —nunca como garantía— ayuda al alumnado a interpretar críticamente sus propios datos.