Supuesto 34

Enunciado

(1,7 puntos) En una región espacial situada por encima del plano $z = 0$ existe un campo magnético uniforme y constante en el tiempo, con dirección paralela al eje horizontal X y sentido positivo, de módulo $B$. Sobre el plano $x = 0$ se sitúa un circuito plano con forma de arco circular de radio $R$ y su correspondiente cuerda, formando así una figura semicircular con centro en un punto fijo O. El material del circuito es homogéneo, con una resistencia de $\rho = \dfrac{1}{2+\pi}$ ohmios por unidad de longitud. Este conjunto se pone en rotación constante en su propio plano, alrededor de O, con velocidad angular $\vec\omega = \dfrac{\pi}{2}\,\hat\imath\ \mathrm{(rad/s)}$, girando de modo que en el instante inicial la cuerda coincide con el eje Y y el arco se encuentra íntegramente en la región $z > 0$. Se pide:

• a) (30 %) Determinar la intensidad y sentido de la corriente inducida en el circuito como función del tiempo. Representarla gráficamente, considerando positivo el sentido contrario al de las agujas del reloj.
• b) (70 %) Calcular la fuerza ejercida por el campo magnético sobre el circuito en cada instante.

Ejercicio 1

Geometría: solo la parte del semicírculo con z > 0 recibe flujo

O

Y

Z

B (+X)

z < 0: sin campo

θ

Solución

a) Corriente inducida

Área efectiva. El campo solo existe en $z>0$, así que el flujo lo produce únicamente la parte del semicírculo situada por encima del plano $z=0$. Midiendo el ángulo $\varphi$ en el plano YZ desde el eje +Y, la región semicircular ocupa en cada instante el intervalo $[\theta,\ \theta+\pi]$, con $\theta = \omega t$. Su intersección con la región de campo, $[0,\pi]$, tiene amplitud angular $\pi-\theta$ mientras $0\le\theta\le\pi$, y $\theta-\pi$ mientras $\pi\le\theta\le 2\pi$. El área, que es la de un sector circular, resulta

$$A(t) = \tfrac{1}{2}R^2\,\big|\pi - \omega t\big|_\text{(periódica)} \;\Longrightarrow\; \Phi = B\,A(t)$$

es decir, una onda triangular: el flujo decrece linealmente durante media vuelta y crece linealmente durante la otra media. Como su pendiente es constante a trozos, la fuerza electromotriz es una onda cuadrada:

$$|\varepsilon| = \left|\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\right| = \frac{1}{2}BR^2\omega = \frac{1}{2}BR^2\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi BR^2}{4}$$

Resistencia del circuito. Aquí está la razón del valor tan peculiar de $\rho$: el perímetro es el del arco más el de la cuerda (que es un diámetro), $\pi R + 2R = R(\pi+2)$, de modo que

$$R_\text{circuito} = \rho\,\ell = \frac{1}{2+\pi}\cdot R(\pi+2) = R\ \ \Omega$$

numéricamente igual al radio. La intensidad es, por tanto,

$$\boxed{\;|I| = \frac{|\varepsilon|}{R_\text{circuito}} = \frac{\pi B R^2/4}{R} = \frac{\pi B R}{4}\;}$$

Sentido y periodo. El periodo de rotación es $T = 2\pi/\omega = 4\ \mathrm{s}$. Durante los dos primeros segundos el área en el campo disminuye, así que por la ley de Lenz la corriente circula en el sentido que mantiene el flujo, es decir el positivo (antihorario); durante los dos siguientes el área crece y la corriente se invierte:

$$I(t) = \begin{cases} +\dfrac{\pi BR}{4} & 0 < t < 2\ \mathrm{s}\\[2mm] -\dfrac{\pi BR}{4} & 2 < t < 4\ \mathrm{s} \end{cases} \qquad\text{(periódica, } T = 4\ \mathrm{s)}$$

Ejercicio 1a

Intensidad inducida frente al tiempo: onda cuadrada de periodo 4 s

2

4

6

8

+πBR/4

−πBR/4

t (s)

I

b) Fuerza magnética sobre el circuito

La fuerza sobre un conductor recorrido por una corriente $I$ en un campo uniforme depende solo del vector que une los extremos del tramo sumergido en el campo:

$$\vec F = I\int \mathrm{d}\vec\ell\times\vec B = I\,\Delta\vec\ell\times\vec B$$

El tramo con campo empieza y acaba donde el circuito corta el plano $z=0$: uno de esos puntos es siempre O (la cuerda pasa por el centro) y el otro es el extremo del arco sobre el eje Y, a distancia $R$ de O. Por tanto $|\Delta\vec\ell| = R$, dirigido a lo largo del eje Y, en todo instante. Con $\vec B = B\,\hat\imath$:

$$\vec F = I\,(-R\,\hat\jmath)\times(B\,\hat\imath) = I\,R\,B\;\hat k$$ $$\boxed{\;|\vec F| = |I|\,B\,R = \frac{\pi BR}{4}\cdot B\cdot R = \frac{\pi B^2R^2}{4}\;}$$

La fuerza es de módulo constante, perpendicular al plano del circuito y al campo (dirección Z), y cambia de sentido cada 2 s en fase con la corriente. Es un resultado elegante: aunque la geometría del tramo sumergido cambia continuamente, solo importa el vector extremo-a-extremo, que se mantiene igual.