Supuesto 33

Enunciado

Un cable coaxial (radio $b$) tiene una densidad de carga (superficial, uniforme y negativa) en su superficie externa. Dicho cable lleva una densidad $\rho$ de carga (volumétrica, uniforme y positiva) en un cilindro interno (radio $a$). El cable es neutro.

• a) Determina el campo eléctrico en las distintas zonas del espacio. (5 puntos)
• b) Determina el potencial eléctrico en las distintas zonas del espacio. (3,5 puntos)
• c) Dibuja una gráfica de campo frente a la distancia perpendicular del eje. (1,5 puntos)

Solución

Simetría y superficie gaussiana

La distribución tiene simetría cilíndrica y se supone de longitud indefinida, de modo que el campo es radial y su módulo depende solo de la distancia al eje, $\vec{E} = E(r)\,\hat{u}_r$. La superficie gaussiana adecuada es un cilindro coaxial de radio $r$ y longitud $\ell$; el flujo a través de sus bases es nulo (campo paralelo a ellas) y a través de la cara lateral vale $E(r)\cdot 2\pi r\ell$.

La carga por unidad de longitud del conductor interno es $\lambda = \rho\pi a^2$. La condición de neutralidad fija la densidad superficial externa:

$$\sigma\,2\pi b\ell + \rho\pi a^2\ell = 0 \;\Longrightarrow\; \sigma = -\frac{\rho a^2}{2b}$$

negativa, como indica el enunciado.

a) Campo eléctrico por regiones

Zona interna ($r \le a$). La carga encerrada es $q_\text{int} = \rho\pi r^2\ell$:

$$E(r)\,2\pi r\ell = \frac{\rho\pi r^2\ell}{\varepsilon_0} \;\Longrightarrow\; E(r) = \frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}$$

Crece linealmente desde cero en el eje, porque al alejarse aumenta la carga encerrada más deprisa de lo que se diluye el flujo.

Zona intermedia ($a \le r \le b$). Toda la carga positiva queda encerrada, $q_\text{int} = \rho\pi a^2\ell$:

$$E(r) = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0\,r}$$

Decae como $1/r$, el resultado clásico de un hilo cargado. En $r = a$ ambas expresiones coinciden, $E(a) = \rho a/2\varepsilon_0$: el campo es continuo, como debe ser al no haber densidad superficial en $r = a$.

Zona externa ($r \ge b$). La carga total encerrada es nula por ser el cable neutro:

$$E(r) = 0$$

Este es el apantallamiento característico del cable coaxial: fuera de él no hay campo, lo que lo hace idóneo para transportar señal sin radiar ni captar interferencias. En $r = b$ hay una discontinuidad de valor $|\sigma|/\varepsilon_0$, coherente con la densidad superficial de carga.

b) Potencial eléctrico por regiones

Como $E = 0$ para $r > b$, el potencial es constante fuera del cable; se elige el origen ahí, que es además el valor en el infinito: $V(r \ge b) = 0$. Se integra $V(r) = \int_r^{\text{ref}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$.

Zona intermedia ($a \le r \le b$):

$$V(r) = \int_r^b \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r'}\,\mathrm{d}r' = \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}$$

Zona interna ($r \le a$): se acumulan las dos contribuciones,

$$V(r) = \int_r^a \frac{\rho r'}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{d}r' + V(a) = \frac{\rho}{4\varepsilon_0}\left(a^2 - r^2\right) + \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a}$$

El potencial es máximo en el eje, $V(0) = \dfrac{\rho a^2}{4\varepsilon_0}\left(1 + 2\ln\dfrac{b}{a}\right)$, y decrece de forma monótona hasta anularse en $r = b$, como corresponde a un campo dirigido hacia fuera. Las tres expresiones empalman con continuidad en $r = a$ y $r = b$: el potencial es siempre continuo, aunque el campo no lo sea.

c) Gráfica del campo

Problema 6

Módulo del campo eléctrico frente a la distancia al eje

a

b

ρa/2ε₀

E(r)

r

E ∝ r

E ∝ 1/r

E = 0