Supuesto 32

Enunciado

Una cuerda está vibrando en un modo estacionario según la siguiente expresión $y = (0{,}2\ \mathrm{m})\,\mathrm{sen}(3\pi x)\cos(40\pi t)$, con $x$ en metros y $t$ en segundos. La cuerda está localizada entre las posiciones $x = 0\ \mathrm{m}$ y $x = 1\ \mathrm{m}$.

• a) Calcula la amplitud, el número de onda, la frecuencia angular, la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de la onda. (4 puntos)
• b) Demuestra que las condiciones de contorno corresponden a una onda estacionaria y explica tus resultados. (3 puntos)
• c) Dibuja una gráfica cualitativa de la onda, $y$ frente a $x$, en un cierto instante. ¿Cuántos nodos y vientres (antinodos) muestra esta onda estacionaria? (3 puntos)

Solución

a) Magnitudes características

Comparando con la forma canónica $y = A\,\mathrm{sen}(kx)\cos(\omega t)$:

| Magnitud | Expresión | Valor | | --------------------------- | ------------------ | --------------------------------------- | | Amplitud de la estacionaria | $A$ | $0{,}20\ \mathrm{m}$ | | Número de onda | $k$ | $3\pi = 9{,}42\ \mathrm{rad\,m^{-1}}$ | | Frecuencia angular | $\omega$ | $40\pi = 125{,}7\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ | | Longitud de onda | $\lambda = 2\pi/k$ | $2/3 = 0{,}667\ \mathrm{m}$ | | Periodo | $T = 2\pi/\omega$ | $0{,}050\ \mathrm{s}$ | | Frecuencia | $f = 1/T$ | $20\ \mathrm{Hz}$ |

La velocidad de las ondas viajeras que la componen es $v = \omega/k = 40\pi/3\pi = 13{,}3\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Conviene precisar que $0{,}20\ \mathrm{m}$ es la amplitud máxima (la de los vientres): la onda estacionaria resulta de superponer dos ondas progresivas de sentidos opuestos y amplitud $0{,}10\ \mathrm{m}$ cada una, ya que

$$0{,}10\,\mathrm{sen}(kx-\omega t) + 0{,}10\,\mathrm{sen}(kx+\omega t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(kx)\cos(\omega t)$$

b) Condiciones de contorno

Una cuerda fija por ambos extremos exige $y(0,t) = y(L,t) = 0$ para todo instante. Se comprueba:

$$y(0,t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(0)\cos(40\pi t) = 0 \quad \forall t$$ $$y(1,t) = 0{,}20\,\mathrm{sen}(3\pi)\cos(40\pi t) = 0 \quad \forall t$$

Ambos extremos son nodos permanentes, lo que caracteriza a una onda estacionaria: los puntos de la cuerda no se propagan, sino que oscilan en fase con amplitudes fijas $0{,}20\,\mathrm{sen}(3\pi x)$ que dependen solo de la posición. La condición general de cuantización es

$$L = n\frac{\lambda}{2} \;\Longrightarrow\; 1 = n\cdot\frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; n = 3$$

Se trata, por tanto, del tercer armónico (segundo sobretono) de la cuerda, cuya frecuencia fundamental es $f_1 = f_3/3 = 6{,}67\ \mathrm{Hz}$.

c) Gráfica, nodos y vientres

Problema 5

Tercer armónico: y frente a x en un instante de máxima elongación

N

N

N

N

V

V

V

0

1/3

2/3

1

+0,2

−0,2

x (m)

Los nodos son los puntos donde $\mathrm{sen}(3\pi x) = 0$, es decir $3\pi x = m\pi$ con $x = m/3$ dentro del intervalo $[0,1]$: $x = 0;\ 1/3;\ 2/3;\ 1\ \mathrm{m}$, cuatro nodos. Los vientres cumplen $|\mathrm{sen}(3\pi x)| = 1$, esto es $x = 1/6;\ 1/2;\ 5/6\ \mathrm{m}$, tres vientres. La regla general para el armónico $n$ es $n+1$ nodos y $n$ vientres, que aquí con $n = 3$ da los cuatro y tres obtenidos. Nótese que dos nodos consecutivos distan $\lambda/2 = 1/3\ \mathrm{m}$, y que un nodo y el vientre contiguo distan $\lambda/4 = 1/6\ \mathrm{m}$.