Supuesto 28

Enunciado

Un sistema para desviar electrones consiste en dos placas metálicas cuadradas paralelas de 6 cm de lado y separadas 4 cm, entre las que se aplica una diferencia de potencial $V_p$, por lo que se genera entre ellas un campo eléctrico uniforme vertical. Los electrones, previamente acelerados horizontalmente desde el reposo hasta una velocidad $v$ mediante una diferencia de potencial de 1200 V, penetran entre las placas en dirección paralela a las mismas. Se ha situado una pantalla vertical a 12 cm de la salida de las placas. Determine:

a) El tiempo que tarda un electrón en recorrer el espacio entre las placas. (0,3 p) b) El tiempo que tarda un electrón en llegar a la pantalla desde que sale de las placas. (0,1 p) c) Justifique cuál de las placas está cargada positivamente. (0,2 p)

Si los electrones inciden en la pantalla en una posición tal que el desplazamiento vertical $\Delta y$ respecto a su posición de entrada entre las placas es $y = 5$ cm, calcule:

d) La diferencia de potencial $V_p$ aplicada entre las placas. (0,65 p)

Datos: carga del electrón $|q| = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ C, masa del electrón $m = 9{,}1\cdot 10^{-31}$ kg.

Galicia 2024 · Problema 2

Desviador electrostático

Solución

Paso previo: la velocidad de entrada. Toda la energía potencial eléctrica ganada en la etapa de aceleración se convierte en cinética:

$$eV = \tfrac{1}{2}mv^2 \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 1200}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 2{,}05\cdot 10^{7}\ \mathrm{m/s}$$

(un 6,8 % de $c$: la corrección relativista sería de un 0,2 %, despreciable aquí).

a) y b) Tiempos. El movimiento horizontal es uniforme en todo el recorrido, porque el campo eléctrico es vertical:

$$t_p = \frac{0{,}06}{2{,}054\cdot 10^{7}} = \boxed{2{,}92\cdot 10^{-9}\ \mathrm{s}}, \qquad t_f = \frac{0{,}12}{2{,}054\cdot 10^{7}} = \boxed{5{,}84\cdot 10^{-9}\ \mathrm{s}}$$

(oficiales: 2,93·10⁻⁹ s y 5,85·10⁻⁹ s). El segundo es exactamente el doble del primero, porque la distancia es el doble.

c) Qué placa es la positiva. El electrón se desvía hacia arriba, luego la fuerza eléctrica sobre él apunta hacia arriba. Como su carga es negativa, $\vec{F} = q\vec{E}$ implica que $\vec{E}$ apunta hacia abajo. Y el campo va siempre del potencial alto al bajo, así que

$$\boxed{\text{la placa superior es la positiva}}$$

Es el punto donde se cuelan más errores: el doble cambio de signo (carga negativa y sentido del campo) hace que la intuición falle.

d) La diferencia de potencial. El desplazamiento total de 5 cm se acumula en dos tramos: dentro de las placas, con aceleración constante, y fuera, ya en línea recta con la velocidad vertical adquirida.

$$\Delta y = \underbrace{\tfrac{1}{2}a\,t_p^2}_{\text{dentro}} + \underbrace{(a\,t_p)\,t_f}_{\text{fuera}} = a\,t_p\left(\frac{t_p}{2} + t_f\right)$$ $$a = \frac{0{,}05}{2{,}921\cdot 10^{-9}\,(1{,}461\cdot 10^{-9} + 5{,}842\cdot 10^{-9})} = 2{,}344\cdot 10^{15}\ \mathrm{m/s^2}$$ $$E = \frac{ma}{e} = \frac{9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 2{,}344\cdot 10^{15}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 1{,}33\cdot 10^{4}\ \mathrm{V/m}$$ $$V_p = E\,d = 1{,}333\cdot 10^{4}\cdot 0{,}04 = \boxed{533\ \mathrm{V}}$$

(oficial: 532 V). Comprobación imprescindible: dentro de las placas el electrón solo sube $\tfrac{1}{2}at_p^2 = 1{,}0$ cm, la mitad de los 2 cm que tiene hasta la placa superior, así que efectivamente sale de las placas sin chocar. Si el cálculo diera más de 2 cm, el resultado sería absurdo y habría que decirlo.