Supuesto 27

Enunciado

Un cuerpo de 0,445 kg está suspendido de una cuerda que pasa por la garganta de una polea de 2,92 kg y de radio 0,152 m. Se deja el sistema en libertad y comienza a moverse. Calcule:

a) Aceleración con la que desciende el cuerpo. (0,60 p) b) La tensión de la cuerda durante el movimiento. (0,15 p) c) En el descenso se rompe la cuerda y el cuerpo (de densidad 8 g/cm³) cae sobre un depósito que contiene un líquido de densidad 13,6 g/cm³. Considerando que la velocidad del cuerpo en el momento en que entra en contacto con el líquido es de 20 m/s, calcule la profundidad que alcanzará en el depósito. (0,50 p)

Datos: $g = 9{,}8$ m/s².

Solución

a) Aceleración. Hay que escribir dos ecuaciones, una de traslación para el cuerpo y otra de rotación para la polea, ligadas por la condición de rodadura de la cuerda $a = \alpha R$. Tomando la polea como un disco macizo, $I = \tfrac{1}{2}MR^2$:

$$mg - T = ma, \qquad T\,R = I\alpha = \tfrac{1}{2}MR^2\cdot\frac{a}{R} \;\Longrightarrow\; T = \tfrac{1}{2}Ma$$ $$a = \frac{mg}{m + \tfrac{M}{2}} = \frac{0{,}445\cdot 9{,}8}{0{,}445 + 1{,}46} = \boxed{2{,}29\ \mathrm{m/s^2}}$$

(oficial: 2,29 m/s²). Obsérvese que el radio se cancela: solo importa la relación entre la masa que cuelga y la mitad de la masa de la polea. El dato de 0,152 m es, para este apartado, un distractor.

b) Tensión.

$$T = m(g - a) = 0{,}445\,(9{,}8 - 2{,}289) = \boxed{3{,}34\ \mathrm{N}}$$

(oficial: 3,34 N). Menor que el peso ($mg = 4{,}36$ N), como tiene que ser en un descenso acelerado.

c) Profundidad en el líquido. Densidad 13,6 g/cm³: es mercurio, y el cuerpo (8 g/cm³) es menos denso, así que acabará flotando; pero entra con 20 m/s y penetra por inercia. Dentro del líquido actúan el peso (abajo) y el empuje (arriba), ambos proporcionales al mismo volumen:

$$ma' = \rho_{\ell}Vg - \rho_c Vg \quad\Longrightarrow\quad a' = g\,\frac{\rho_{\ell} - \rho_c}{\rho_c} = 9{,}8\cdot\frac{13{,}6 - 8}{8} = 6{,}86\ \mathrm{m/s^2}$$

(deceleración, porque el empuje gana). Con MRUA hasta pararse:

$$h = \frac{v^2}{2a'} = \frac{20^2}{2\cdot 6{,}86} = \boxed{29{,}2\ \mathrm{m}}$$

(oficial: 29,15 m). La masa y el volumen desaparecen: solo cuenta el cociente de densidades. Es un depósito de mercurio de 29 m de profundidad, físicamente inverosímil pero matemáticamente impecable; también se desprecia el rozamiento viscoso, que en mercurio sería enorme.