Supuesto 25

Enunciado

Un punto material de masa $M$ se mueve sin rozamiento y bajo la acción de la gravedad sobre una esfera de radio $R$, apoyada sin poder desplazarse sobre un plano horizontal. Parte del reposo desde un punto infinitesimalmente próximo al más alto de la esfera.

• a) Módulo de la velocidad en función de la altura al suelo $h$ y del ángulo $\theta$ con la vertical (antes de despegar). (20 %)
• b) Módulo del momento angular. (15 %)
• c) Ángulo al que pierde el contacto. (25 %)
• d) Con rozamiento, ¿el ángulo sería mayor o menor? (10 %)
• e) Distancia entre el punto de impacto en el plano y el punto de contacto de la esfera con el plano, si $R = 3\ \mathrm{m}$. (20 %)
• f) ¿Cómo cambiarían c y e si la masa fuera una esfera de radio $r = 0{,}1\ \mathrm{m}$ que rueda ($I = \tfrac{2}{5}Mr^2$)? (10 %)

Problema 3

Despegue en θ y trayectoria parabólica hasta el suelo (R = 3 m)

θ

inicio

despegue

contacto

impacto

parábola

Solución

a) Velocidad

La esfera tiene su centro a altura $R$; el punto más alto está a $2R$. En un ángulo $\theta$ medido desde la vertical, la partícula está a altura $h = R + R\cos\theta = R(1+\cos\theta)$, habiendo descendido $\Delta h = 2R - h = R(1-\cos\theta)$. Como no hay rozamiento, se conserva la energía:

$$\tfrac{1}{2}Mv^2 = Mg\,\Delta h \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2g(2R - h)}$$

b) Momento angular

Respecto al centro de la esfera, la velocidad es tangente a la circunferencia (perpendicular al radio $R$), de modo que

$$L = M v R = M R\sqrt{2gR(1-\cos\theta)}$$

c) Ángulo de despegue

La partícula abandona la superficie cuando la fuerza normal se anula. La componente radial del peso es la que aporta la fuerza centrípeta:

$$Mg\cos\theta - N = \frac{Mv^2}{R}; \qquad N = 0 \;\Longrightarrow\; v^2 = gR\cos\theta$$

Igualando con $v^2 = 2gR(1-\cos\theta)$:

$$2gR(1-\cos\theta) = gR\cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{2}{3} \;\Longrightarrow\; \theta = 48{,}2^\circ$$

Notablemente, no depende de $R$, $M$ ni $g$.

d) Efecto del rozamiento

Con rozamiento la partícula llega a cada ángulo con menos velocidad. La condición de despegue $v^2 = gR\cos\theta$ se alcanza entonces más tarde, cuando $\theta$ es mayor (y $\cos\theta$ menor): el rozamiento hace que la masa se mantenga pegada a la esfera hasta un ángulo mayor que 48,2°.

e) Punto de impacto ($R = 3\ \mathrm{m}$)

En el despegue, con $\cos\theta = 2/3$ y $\mathrm{sen}\,\theta = \sqrt5/3 = 0{,}745$:

• Altura: $h = R(1+\cos\theta) = 3\cdot\tfrac{5}{3} = 5\ \mathrm{m}$.
• Distancia horizontal al eje: $x_0 = R\,\mathrm{sen}\,\theta = 2{,}24\ \mathrm{m}$.
• Rapidez: $v = \sqrt{2gR(1-\cos\theta)} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3\cdot\tfrac{1}{3}} = 4{,}43\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, dirigida $\theta$ por debajo de la horizontal: $v_x = v\cos\theta = 2{,}95$, $v_y = -v\,\mathrm{sen}\,\theta = -3{,}30\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

Tiro parabólico hasta $y = 0$:

$$0 = 5 - 3{,}30\,t - 4{,}9\,t^2 \;\Longrightarrow\; t = 0{,}728\ \mathrm{s}, \qquad x = x_0 + v_x t = 2{,}24 + 2{,}95\cdot 0{,}728 = 4{,}39\ \mathrm{m}$$

Como el punto de contacto de la esfera está justo bajo el centro, la distancia pedida es $\boxed{4{,}39\ \mathrm{m}}$.

f) Si la masa fuera una esfera que rueda

Al rodar sin deslizar, la energía se reparte entre traslación y rotación, $Mg\Delta h = \tfrac{1}{2}Mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2 = \tfrac{7}{10}Mv^2$, y el centro de la esfera describe un círculo de radio $R+r$. La condición de despegue $v^2 = g(R+r)\cos\theta$ combinada con la energía da:

$$\tfrac{10}{7}(1-\cos\theta) = \cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac{10}{17} = 0{,}588 \;\Longrightarrow\; \theta = 54{,}0^\circ$$

El ángulo de despegue aumenta (de 48,2° a 54,0°), porque parte de la energía se «gasta» en rotación y la velocidad de traslación crece más despacio. Con $r = 0{,}1\ \mathrm{m} \ll R$ el efecto sobre la altura y el alcance del punto e es pequeño (el radio efectivo pasa de 3 a 3,1 m), pero al despegar más tarde y más abajo el punto de impacto se desplaza ligeramente; recalculando con $\cos\theta = 10/17$ y $R+r = 3{,}1\ \mathrm{m}$, la distancia resulta del orden de $4{,}3\ \mathrm{m}$.