Supuesto 23

Enunciado

Sea un objeto cilíndrico formado por un cilindro macizo muy largo de radio $a$ y densidad de carga uniforme $\rho$ y otro cilindro muy delgado concéntrico de radio $b$ que tiene una carga igual pero opuesta, distribuida uniformemente en su superficie ($b > a$).

a) Obtenga el campo eléctrico para cualquier punto del espacio. (1 punto) b) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del espacio, tomando nulo el valor del potencial en el cilindro exterior. (1 punto)

Solución

a) Campo por el teorema de Gauss. La simetría cilíndrica («muy largo») garantiza que $\vec{E}$ es radial y que su módulo solo depende de la distancia $r$ al eje. La superficie gaussiana natural es un cilindro coaxial de radio $r$ y longitud $L$: por las tapas no hay flujo (el campo es paralelo a ellas) y por la superficie lateral el flujo es $E\cdot 2\pi rL$.

La carga por unidad de longitud del cilindro interior es $\lambda = \rho\pi a^2$, y la del cilindro exterior es $-\lambda$.

Región 1, $r < a$ (dentro del cilindro macizo). La carga encerrada es solo la fracción interior, $q_{\text{int}} = \rho\pi r^2 L$:

$$E\,2\pi rL = \frac{\rho\pi r^2L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\rho\,r}{2\varepsilon_0}}$$

Crece linealmente desde cero en el eje.

Región 2, $a < r < b$ (entre los dos cilindros). Ahora está encerrada toda la carga interior:

$$E\,2\pi rL = \frac{\rho\pi a^2L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{E = \frac{\rho\,a^2}{2\varepsilon_0\,r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$$

Decae como $1/r$, como el hilo infinito.

Región 3, $r > b$. La carga total encerrada es $\lambda L - \lambda L = 0$:

$$\boxed{E = 0}$$

Este es el resultado que merece comentario: el sistema apantalla completamente el exterior. Es el principio del cable coaxial, y por eso el campo del interior no interfiere con nada de fuera.

b) Potencial. Se integra $V(r) - V(r_0) = \int_r^{r_0}\vec{E}\cdot d\vec{r}$ con la condición $V(b) = 0$, empezando por fuera y avanzando hacia dentro.

$r > b$: como $E = 0$ y $V(b) = 0$, resulta $\boxed{V = 0}$ en todo el exterior.

$a < r < b$:

$$V(r) = \int_r^b \frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0 r'}\,dr' = \boxed{\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{r}}$$

que vale 0 en $r = b$ y crece hacia dentro (logarítmicamente).

$r < a$: hay que sumar la contribución del tramo interior al valor ya alcanzado en $r = a$:

$$V(r) = V(a) + \int_r^a \frac{\rho r'}{2\varepsilon_0}\,dr' = \boxed{\frac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\frac{b}{a} + \frac{\rho\,(a^2 - r^2)}{4\varepsilon_0}}$$

El máximo está en el eje, $V(0) = \dfrac{\rho a^2}{2\varepsilon_0}\ln\dfrac{b}{a} + \dfrac{\rho a^2}{4\varepsilon_0}$.

Continuidad, que es la comprobación obligada: en $r = a$ las dos expresiones coinciden, y en $r = b$ la segunda da 0. El potencial es continuo en todas partes (el campo, en cambio, salta en $r = b$, porque allí hay una densidad superficial de carga).