Supuesto 21

Enunciado

La nave Orion spacecraft, en el marco de la misión Artemis III, se considera en órbita circular alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie.

a) Calcula la velocidad orbital de la nave. (5 puntos) b) Determina el periodo de revolución. (4 puntos) c) Halla la energía mecánica por unidad de masa. (4 puntos) d) Calcula la velocidad de escape desde la órbita en que se encuentra la nave. (4 puntos) e) En realidad, la órbita de la nave es elíptica. Razona, sin hacer cálculos, cómo será la velocidad de la nave: en el punto más próximo a la Luna y en el punto más lejano. (3 puntos)

(Datos: $R_L = 1{,}74\cdot 10^{6}$ m; $M_L = 7{,}35\cdot 10^{22}$ kg; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}$ N·m²/kg²)

Solución

El primer paso, y el que más fallos provoca: el radio de la órbita se mide desde el centro de la Luna, no desde la superficie.

$$r = R_L + h = 1{,}74\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{5} = 1{,}84\cdot 10^{6}\ \mathrm{m}$$ $$GM_L = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22} = 4{,}902\cdot 10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$$

a) Velocidad orbital. Igualando la fuerza gravitatoria con la centrípeta, $GM_Lm/r^2 = mv^2/r$, la masa de la nave se cancela (por eso el enunciado no la da):

$$v = \sqrt{\frac{GM_L}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{1{,}84\cdot 10^{6}}} = 1{,}63\cdot 10^{3}\ \mathrm{m/s}$$

Unos 5 900 km/h, cuatro veces menos que en órbita baja terrestre.

b) Periodo.

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 1{,}84\cdot 10^{6}}{1632{,}3} = 7{,}08\cdot 10^{3}\ \mathrm{s} = \boxed{1{,}97\ \mathrm{h}}$$

es decir 118 minutos por vuelta. Se llega igual por la tercera ley de Kepler, $T^2 = 4\pi^2r^3/GM_L$.

c) Energía mecánica por unidad de masa. En órbita circular, $E_c = -E_p/2$, de modo que

$$\frac{E_m}{m} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM_L}{r} = -\frac{GM_L}{2r} = -1{,}33\cdot 10^{6}\ \mathrm{J/kg}$$

Negativa, como debe ser en un sistema ligado: para liberar la nave habría que aportarle esa energía.

d) Velocidad de escape desde la órbita. Se obtiene imponiendo $E_m = 0$:

$$\tfrac{1}{2}v_e^2 = \frac{GM_L}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM_L}{r}} = \sqrt{2}\,v = 2{,}31\cdot 10^{3}\ \mathrm{m/s}$$

La relación $v_e = \sqrt{2}\,v_{\text{orbital}}$ vale siempre para cualquier órbita circular, y es una comprobación inmediata. Haría falta, pues, un incremento de velocidad de solo $2308 - 1632 = 676$ m/s para escapar de la Luna desde esta órbita.

e) Órbita elíptica. Por la segunda ley de Kepler (ley de las áreas), el radiovector barre áreas iguales en tiempos iguales; equivalentemente, el momento angular se conserva porque la gravedad es una fuerza central. Por tanto, donde $r$ es pequeño la velocidad tiene que ser grande:

• En el perilunio (punto más próximo): velocidad máxima.
• En el apolunio (punto más lejano): velocidad mínima.

Se puede decir también desde la energía: $E_m$ se conserva, y como cerca de la Luna $E_p$ es más negativa, la energía cinética debe ser mayor allí.