Supuesto 20

Enunciado

En un dispositivo electrónico miniaturizado, dos puntos cargados generan un campo eléctrico que puede afectar al movimiento de partículas dentro del sistema. Se dispone de dos cargas puntuales en el vacío:

• $q_1 = +2{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada en el punto $(0, 0)$ cm
• $q_2 = -3{,}0\ \mu\mathrm{C}$ situada en el punto $(40, 0)$ cm

Se considera un sistema de referencia cartesiano con origen en $(0,0)$. Un punto $P$ se encuentra en $(20, 30)$ cm.

a) Haz un dibujo de la situación indicando la posición de las cargas, el punto $P$ y los vectores campo eléctrico generados por cada carga en el punto $P$. (3 puntos) b) Calcula los vectores campo eléctrico creados por cada carga en el punto $P$. (6 puntos) c) Determina el campo eléctrico resultante (vectorialmente) en el punto $P$. (3 puntos) d) Calcula el módulo del campo eléctrico resultante. (2 puntos) e) En el punto $P$ se coloca una partícula con carga $q = +2{,}5\ \mu\mathrm{C}$. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula (vectorialmente). (3 puntos) f) Determina el ángulo que forma el vector campo eléctrico con el eje horizontal. (3 puntos)

(Datos: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}$ N·m²·C⁻²)

Solución

a) Esquema. El punto $P$ está sobre la mediatriz del segmento que une las cargas (a 20 cm de cada una en horizontal), de modo que las dos distancias son iguales. $\vec{E}_1$ se aleja de $q_1$ (positiva) y $\vec{E}_2$ apunta hacia $q_2$ (negativa):

Baleares 2026 · A5

Campo eléctrico en el punto P

b) Campos individuales. Los vectores de posición respecto de cada carga, en metros:

$$\vec{r}_1 = (0{,}20;\ 0{,}30), \qquad \vec{r}_2 = (0{,}20-0{,}40;\ 0{,}30) = (-0{,}20;\ 0{,}30)$$

Los dos tienen el mismo módulo, $r = \sqrt{0{,}20^2+0{,}30^2} = \sqrt{0{,}13} = 0{,}3606$ m, con $r^2 = 0{,}13\ \mathrm{m^2}$. Los unitarios son $\hat{u}_1 = (0{,}5547;\ 0{,}8321)$ y $\hat{u}_2 = (-0{,}5547;\ 0{,}8321)$.

Para la carga positiva, el campo va en el sentido de $\hat{u}_1$ (alejándose):

$$\vec{E}_1 = k\frac{q_1}{r^2}\,\hat{u}_1 = \frac{9{,}0\cdot 10^{9}\cdot 2{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}13}\,(0{,}5547;\ 0{,}8321) = (7{,}68\cdot 10^{4};\ 1{,}15\cdot 10^{5})\ \mathrm{N/C}$$

con módulo $1{,}38\cdot 10^{5}$ N/C. Para la carga negativa, el campo va en sentido contrario a $\hat{u}_2$ (hacia la carga):

$$\vec{E}_2 = -k\frac{|q_2|}{r^2}\,\hat{u}_2 = \frac{9{,}0\cdot 10^{9}\cdot 3{,}0\cdot 10^{-6}}{0{,}13}\,(0{,}5547;\ -0{,}8321) = (1{,}15\cdot 10^{5};\ -1{,}73\cdot 10^{5})\ \mathrm{N/C}$$

con módulo $2{,}08\cdot 10^{5}$ N/C. Fíjate en que las componentes $x$ se suman (las dos apuntan hacia $+x$, hacia la carga negativa) mientras que las $y$ se restan.

c) Campo resultante.

$$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (7{,}68\cdot 10^{4} + 1{,}152\cdot 10^{5};\ 1{,}152\cdot 10^{5} - 1{,}728\cdot 10^{5})$$ $$\boxed{\vec{E} = (1{,}92\cdot 10^{5};\ -5{,}76\cdot 10^{4})\ \mathrm{N/C}}$$

d) Módulo.

$$|\vec{E}| = \sqrt{(1{,}920\cdot 10^{5})^2 + (5{,}760\cdot 10^{4})^2} = 2{,}00\cdot 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

Cuidado con el error frecuente de sumar los módulos: $1{,}38\cdot 10^{5} + 2{,}08\cdot 10^{5}$ daría $3{,}46\cdot 10^{5}$ N/C, un 73 % de más.

e) Fuerza sobre la carga de prueba. Como $q = +2{,}5\ \mu\mathrm{C}$ es positiva, $\vec{F}$ tiene la misma dirección y sentido que $\vec{E}$:

$$\vec{F} = q\vec{E} = 2{,}5\cdot 10^{-6}\,(1{,}920\cdot 10^{5};\ -5{,}760\cdot 10^{4}) = (0{,}480;\ -0{,}144)\ \mathrm{N}$$

con módulo $|\vec{F}| = 2{,}5\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}005\cdot 10^{5} = 0{,}501$ N.

f) Ángulo con el eje horizontal.

$$\tan\theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{-5{,}760\cdot 10^{4}}{1{,}920\cdot 10^{5}} = -0{,}300 \quad\Longrightarrow\quad \theta = -16{,}7^\circ$$

Es decir, 16,7° por debajo del eje $+x$ (cuarto cuadrante, coherente con $E_x>0$ y $E_y<0$). Cualitativamente tiene sentido: el campo resultante apunta hacia la carga negativa, que es la que domina por ser mayor en valor absoluto.