Supuesto 19

Enunciado

En un experimento sobre el efecto fotoeléctrico, una lámina metálica está iluminada con radiación monocromática de longitud de onda $\lambda = 350$ nm. Se observa que los electrones emitidos tienen una energía cinética máxima de 1,20 eV.

a) Calcula la frecuencia de la radiación incidente. (3 puntos) b) Determina la energía de los fotones incidentes en eV. (3 puntos) c) Calcula la función de trabajo del metal. (4 puntos) d) Determina la frecuencia umbral del metal. (4 puntos) e) Si se repite el experimento con una radiación de $\lambda = 500$ nm, indica si se producirá efecto fotoeléctrico y justifícalo cuantitativamente. (6 puntos)

(Datos: $h = 6{,}626\cdot 10^{-34}$ J·s; 1 eV $= 1{,}602\cdot 10^{-19}$ J; $c = 3\cdot 10^{8}$ m·s⁻¹)

Solución

a) Frecuencia.

$$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3\cdot 10^{8}}{350\cdot 10^{-9}} = 8{,}57\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

b) Energía del fotón.

$$E = hf = 6{,}626\cdot 10^{-34} \cdot 8{,}571\cdot 10^{14} = 5{,}68\cdot 10^{-19}\ \mathrm{J} = \frac{5{,}679\cdot 10^{-19}}{1{,}602\cdot 10^{-19}} = 3{,}55\ \mathrm{eV}$$

c) Función de trabajo. La ecuación de Einstein $E = W + E_{c,\text{máx}}$ da

$$W = 3{,}545 - 1{,}20 = \boxed{2{,}35\ \mathrm{eV}} = 3{,}76\cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

d) Frecuencia umbral.

$$f_0 = \frac{W}{h} = \frac{3{,}757\cdot 10^{-19}}{6{,}626\cdot 10^{-34}} = 5{,}67\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

que corresponde a $\lambda_0 = c/f_0 = 529$ nm, en el verde-amarillo: el metal responde a todo el visible por encima de esa longitud de onda (potasio y cesio tienen valores de este orden).

e) Con $\lambda = 500$ nm. La frecuencia es

$$f' = \frac{3\cdot 10^{8}}{500\cdot 10^{-9}} = 6{,}00\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz} > f_0 = 5{,}67\cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$

Sí se produce efecto fotoeléctrico, aunque justo por encima del umbral. Cuantitativamente, $E' = hf' = 3{,}98\cdot 10^{-19}$ J $= 2{,}48$ eV, y

$$E_{c,\text{máx}}' = 2{,}482 - 2{,}345 = 0{,}14\ \mathrm{eV} = 2{,}2\cdot 10^{-20}\ \mathrm{J}$$

Los electrones salen, pero con una energía cinética 8,8 veces menor que con 350 nm. Conviene subrayar lo que esto ilustra: aumentar la intensidad de la luz de 500 nm produciría más electrones pero igual de energéticos; lo que fija $E_{c,\text{máx}}$ es solo la frecuencia. Es el argumento que la física clásica no podía explicar.