Supuesto 17

Enunciado

Se lanza una partícula con velocidad $v_0$ y ángulo de inclinación $\alpha$ para que pase por el punto $P(x_1, h)$. Se toma $g = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}$.

• a) (2,5p) Calcule los ángulos $\alpha$ de lanzamiento para $x_1 = 4{,}00\ \mathrm{m}$, $h = 0{,}80\ \mathrm{m}$ y $v_0 = 7{,}0\ \mathrm{m/s}$.
• b) (2,5p) Calcule la velocidad crítica por debajo de la cual no se puede alcanzar P.
• c) (4p) Determine y represente gráficamente la función $y = f(x)$ de los puntos críticos que pueden alcanzarse con velocidad $v_0$ (parábola de seguridad), y represéntela para $v_0 = 7{,}0\ \mathrm{m/s}$.

Solución

a) Ángulos de lanzamiento

Eliminando el tiempo de las ecuaciones del tiro parabólico y usando $1/\cos^2\alpha = 1+\tan^2\alpha$:

$$y = x\tan\alpha - \frac{g\,x^2}{2v_0^2}\left(1+\tan^2\alpha\right)$$

Imponiendo que pase por $P(x_1,h)$ y llamando $t = \tan\alpha$ y $k = \dfrac{g x_1^2}{2v_0^2}$, queda una ecuación de segundo grado en la tangente:

$$k\,t^2 - x_1\,t + (h + k) = 0$$

Con los datos, $k = \dfrac{9{,}8\cdot 16}{2\cdot 49} = 1{,}60\ \mathrm{m}$:

$$1{,}6\,t^2 - 4\,t + 2{,}4 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2t^2 - 5t + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1 \ \text{ó}\ t = 1{,}5$$ $$\alpha_1 = 45{,}0^\circ; \qquad \alpha_2 = 56{,}3^\circ$$

Dos soluciones, la «tensa» y la «curva»: es el resultado clásico de que a un mismo punto se llega por dos trayectorias distintas con la misma rapidez inicial.

b) Velocidad crítica

El punto deja de ser alcanzable cuando la ecuación anterior no tiene solución real, es decir cuando el discriminante se anula:

$$x_1^2 - 4k(h+k) = 0 \;\Longrightarrow\; 4k^2 + 4kh - x_1^2 = 0 \;\Longrightarrow\; k = \frac{-h+\sqrt{h^2+x_1^2}}{2}$$ $$k = \frac{-0{,}80+\sqrt{0{,}64+16}}{2} = 1{,}640\ \mathrm{m} \;\Longrightarrow\; v_0 = \sqrt{\frac{g x_1^2}{2k}} = \sqrt{\frac{9{,}8\cdot 16}{3{,}279}} = 6{,}91\ \mathrm{m/s}$$

Por debajo de $v_\text{crít} = 6{,}91\ \mathrm{m/s}$ el punto P es inalcanzable con cualquier ángulo. Como el enunciado usa $7{,}0 > 6{,}91$, existen las dos soluciones del apartado a; si la velocidad fuese exactamente la crítica, las dos raíces coincidirían en un único ángulo.

c) Parábola de seguridad

Repitiendo el razonamiento para un punto genérico $(x,y)$, la condición de alcanzabilidad es $x^2 - 4k(y+k)\ge 0$ con $k = \dfrac{gx^2}{2v_0^2}$. La frontera (discriminante nulo) da, tras simplificar $x^2$:

$$1 = \frac{2gy}{v_0^2} + \frac{g^2x^2}{v_0^4} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;y = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}\,x^2\;}$$

Es una parábola invertida que envuelve a todas las trayectorias posibles: separa la región accesible (por debajo) de la inaccesible (por encima). Sus dos parámetros tienen significado físico inmediato: el vértice $v_0^2/2g$ es la altura máxima del lanzamiento vertical y el corte con el suelo, $v_0^2/g$, es el alcance máximo (lanzamiento a 45º). Para $v_0 = 7{,}0\ \mathrm{m/s}$:

$$y = 2{,}50 - 0{,}10\,x^2 \qquad (\text{vértice a } 2{,}50\ \mathrm{m},\ \text{corte en } x = 5{,}00\ \mathrm{m})$$

Ejercicio A.4c

Parábola de seguridad para v₀ = 7,0 m/s y las dos trayectorias que pasan por P

P(4; 0,8)

2,5

5,0

0

x (m)

y (m)

parábola de seguridad

45,0°

56,3°