Supuesto 16

Enunciado

Una bobina de Helmholtz consiste en dos bobinas circulares idénticas, situadas simétricamente a lo largo de un eje común, una a cada lado del área experimental y separadas por una distancia $h$ igual al radio $R$. Cada bobina transporta la misma corriente en la misma dirección.

• a) (4,5p) Si cada bobina tiene $N$ espiras, demuestre que el campo magnético en el punto central O es $B = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{3/2}\dfrac{\mu_0 N I}{R}$.
• b) (2,5p) Calcule la razón entre el campo en O y su valor en el centro de una de las bobinas (punto A o B).
• c) (3p) Diseñe una actividad práctica para 2.º de Bachillerato en la que se utilicen bobinas de Helmholtz para determinar el campo magnético terrestre (en España, unos 40 μT).

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \mathrm{N\,A^{-2}}$.

Ejercicio A.3

Configuración de Helmholtz: separación igual al radio

A

B

O

h = R

R

I, N

I, N

eje

Solución

a) Demostración

El campo de una espira circular de radio $R$ recorrida por $I$, en un punto de su eje a distancia $z$ del centro, es (aplicando Biot-Savart e integrando; solo sobrevive la componente axial por simetría):

$$B_\text{espira}(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}$$

Para una bobina de $N$ espiras basta multiplicar por $N$. En la configuración de Helmholtz las dos bobinas distan $h = R$, así que el punto medio O está a $z = R/2$ de cada una, y ambos campos se suman (misma corriente, mismo sentido):

$$B_O = 2\cdot\frac{\mu_0 N I R^2}{2\left(R^2 + \frac{R^2}{4}\right)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{\left(\frac{5R^2}{4}\right)^{3/2}} = \frac{\mu_0 N I R^2}{R^3\left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}}$$ $$\boxed{\;B_O = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_0 N I}{R} = 0{,}7155\,\frac{\mu_0 N I}{R}\;}$$

b) Razón entre O y el centro de una bobina

En el punto A (centro de una bobina) se suman el campo de esa misma bobina, a $z = 0$, y el de la otra, a $z = h = R$:

$$B_A = \underbrace{\frac{\mu_0 N I}{2R}}_{\text{propia}} + \underbrace{\frac{\mu_0 N I R^2}{2(2R^2)^{3/2}}}_{\text{la otra}} = \frac{\mu_0 N I}{R}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4\sqrt2}\right) = 0{,}6768\,\frac{\mu_0 N I}{R}$$ $$\frac{B_O}{B_A} = \frac{0{,}7155}{0{,}6768} = 1{,}057$$

El campo en el centro es solo un 5,7 % mayor que en los planos de las bobinas. Ahí está la gracia de la geometría de Helmholtz: con $h = R$ se anula la segunda derivada del campo en O, de modo que la región central es notablemente uniforme y sirve como patrón de campo conocido.

c) Actividad práctica para 2.º de Bachillerato (orientación)

Este apartado es de respuesta abierta; lo que sigue es una propuesta razonada, no la única solución posible.

Fundamento. El montaje clásico es el del galvanómetro de tangentes. Se orientan las bobinas de modo que su eje quede horizontal y perpendicular a la componente horizontal del campo terrestre (es decir, en dirección E–O), y se coloca una brújula en el punto O. Sin corriente, la aguja señala el norte magnético. Al hacer pasar corriente, la aguja se desvía un ángulo $\theta$ tal que

$$\tan\theta = \frac{B_O}{B_{\text{Tierra},h}} \;\Longrightarrow\; B_{\text{Tierra},h} = \frac{B_O}{\tan\theta} = \frac{1}{\tan\theta}\left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\frac{\mu_0 N I}{R}$$

Procedimiento. (1) Medir $R$ y anotar $N$. (2) Alinear el eje E–O con la propia brújula. (3) Aumentar la corriente hasta que la desviación sea 45º, condición especialmente cómoda porque entonces $B_O = B_{\text{Tierra},h}$ directamente. (4) Repetir para varias corrientes y representar $\tan\theta$ frente a $I$: la pendiente da $B_{\text{Tierra},h}$ por regresión lineal, que es mejor que una medida aislada. (5) Invertir el sentido de la corriente y promediar para cancelar errores de alineación.

Orden de magnitud esperado. Con $N = 100$, $R = 0{,}15\ \mathrm{m}$ e $I \approx 0{,}05\ \mathrm{A}$ se obtienen unos $30\ \mathrm{\mu T}$, del orden del valor real (~40 μT de campo total, del que la componente horizontal en España es unos 25 μT).

Aprovechamiento didáctico. Permite trabajar la ley de Biot-Savart, la superposición vectorial de campos, el tratamiento de errores y el ajuste por mínimos cuadrados, y conectar con la declinación e inclinación magnéticas y con el geomagnetismo. Conviene advertir de que hay que alejar objetos ferromagnéticos y otros equipos del montaje: es la principal fuente de error sistemático.