Supuesto 6

Tema 10 · Modelo ·

Por Adrián Peinado, profesor de Física y Química en Secundaria

Un supuesto de estática de fluidos que integra la presión hidrostática, la relación entre densidad y fracción sumergida y el principio de Arquímedes. Ofrece varias comprobaciones cruzadas —en especial la deducción del empuje como diferencia de fuerzas de presión sobre las caras— muy formativas para el aula.

Enunciado

Un bloque cúbico homogéneo de arista $a = 0{,}20\ \mathrm{m}$ y masa $m = 5{,}6\ \mathrm{kg}$ se deposita en un recipiente con agua ( $\rho_{\text{agua}} = 1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ ), donde flota en equilibrio. Tómese $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ y la presión atmosférica $p_{\text{atm}} = 1{,}013\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$ .

Se pide:

a) La densidad del material del bloque.
b) La fracción del volumen que queda sumergida al flotar y la altura de bloque que emerge sobre la superficie.
c) La fuerza vertical adicional necesaria para mantenerlo completamente sumergido. Comprobar el resultado a partir del volumen emergido.
d) Con el bloque totalmente sumergido y sujeto de modo que su cara superior quede a $1{,}0\ \mathrm{m}$ de profundidad, la presión manométrica y absoluta sobre su cara inferior y las fuerzas que el agua ejerce sobre las caras superior e inferior. Comprobar que su diferencia reproduce el empuje.

Resolución

Datos geométricos

El volumen y la sección del cubo son:

V = a^3 = (0{,}20)^3 = 8{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}, \qquad A = a^2 = 0{,}040\ \mathrm{m^2}

y su peso, $P = mg = 5{,}6\cdot 9{,}8 = 54{,}9\ \mathrm{N}$ .

a) Densidad del material

Por definición de densidad:

\rho_{\text{c}} = \frac{m}{V} = \frac{5{,}6}{8{,}0\times 10^{-3}} = 700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

Es menor que la del agua, condición necesaria para que el bloque flote.

b) Fracción sumergida y altura emergida

En el equilibrio de flotación el peso iguala al empuje del agua desplazada por la parte sumergida, $mg = \rho_{\text{agua}}\, V_{\text{sub}}\, g$ . Sustituyendo $m = \rho_{\text{c}} V$ :

\frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_{\text{c}}}{\rho_{\text{agua}}} = \frac{700}{1000} = 0{,}70

es decir, el $70\%$ del volumen queda bajo el agua. Como el bloque es un prisma de sección constante, la fracción de altura coincide con la de volumen:

h_{\text{sub}} = 0{,}70\cdot a = 0{,}14\ \mathrm{m}, \qquad h_{\text{em}} = a - h_{\text{sub}} = 0{,}06\ \mathrm{m}

c) Fuerza para sumergirlo por completo

Cuando el cubo está totalmente sumergido desplaza todo su volumen, y el empuje alcanza su valor máximo:

E = \rho_{\text{agua}}\, V\, g = 1000\cdot 8{,}0\times 10^{-3}\cdot 9{,}8 = 78{,}4\ \mathrm{N}

Como $E$ es mayor que $P$ , para mantenerlo sumergido hay que aplicar una fuerza hacia abajo:

F = E - P = 78{,}4 - 54{,}9 = 23{,}5\ \mathrm{N}

Comprobación por el volumen emergido. Esa fuerza extra equivale al peso del agua que desplazaría la porción que antes sobresalía:

V_{\text{em}} = A\, h_{\text{em}} = 0{,}040\cdot 0{,}06 = 2{,}4\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}

F = \rho_{\text{agua}}\, V_{\text{em}}\, g = 1000\cdot 2{,}4\times 10^{-3}\cdot 9{,}8 = 23{,}5\ \mathrm{N}

El resultado coincide, lo que valida el cálculo.

d) Presión y fuerzas sobre las caras

Con la cara superior a $z_{\text{sup}} = 1{,}0\ \mathrm{m}$ , la cara inferior queda a $z_{\text{inf}} = z_{\text{sup}} + a = 1{,}20\ \mathrm{m}$ . La presión manométrica (hidrostática) es $p = \rho_{\text{agua}}\, g\, z$ :

p_{\text{sup}} = 1000\cdot 9{,}8\cdot 1{,}00 = 9{,}80\times 10^{3}\ \mathrm{Pa}

p_{\text{inf}} = 1000\cdot 9{,}8\cdot 1{,}20 = 1{,}176\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}

La presión absoluta sobre la cara inferior añade la atmosférica:

p_{\text{inf}}^{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{inf}} = 1{,}013\times 10^{5} + 1{,}176\times 10^{4} = 1{,}131\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}

Sobre las caras horizontales, la presión atmosférica actúa por igual arriba y abajo y se cancela, de modo que basta usar la presión manométrica:

F_{\text{inf}} = p_{\text{inf}}\, A = 1{,}176\times 10^{4}\cdot 0{,}040 = 470{,}4\ \mathrm{N}\ (\text{hacia arriba})

F_{\text{sup}} = p_{\text{sup}}\, A = 9{,}80\times 10^{3}\cdot 0{,}040 = 392{,}0\ \mathrm{N}\ (\text{hacia abajo})

Comprobación con el empuje. La resultante neta de las fuerzas de presión es:

F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} = 470{,}4 - 392{,}0 = 78{,}4\ \mathrm{N}\ (\text{hacia arriba})

que coincide exactamente con el empuje $E$ del apartado c). El principio de Arquímedes se recupera, así, como consecuencia directa de la variación de presión con la profundidad. Las fuerzas laterales, iguales y opuestas dos a dos, no contribuyen a la resultante vertical.

Comentario didáctico

El supuesto se enmarca en el Tema 10 (estática de fluidos) y reúne en un único problema los tres pilares del bloque: presión hidrostática, densidad y empuje. Dos ideas merecen destacarse en el aula. La primera, que la fracción sumergida de un cuerpo que flota es simplemente el cociente de densidades $\rho_{\text{c}}/\rho_{\text{agua}}$ , un resultado elegante que permite estimar densidades observando cuánto asoma un objeto (el fundamento del densímetro). La segunda, que el empuje no es un principio aislado, sino la consecuencia de que la presión crece con la profundidad: la cara inferior soporta más presión que la superior, y su diferencia, integrada sobre el área, es exactamente el peso del fluido desplazado. Conviene además señalar que, una vez el cuerpo está totalmente sumergido, el empuje no depende de la profundidad a la que se encuentre, un punto que corrige una concepción alternativa frecuente del alumnado. La doble vía de comprobación —volumen emergido y diferencia de presiones— refuerza el hábito de autoevaluar los resultados, un criterio muy valorado en la exposición del supuesto.

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