Supuesto 15

Enunciado

Tenemos una noria de radio $R = 10$ m, y el motor que la acciona tiene una potencia $P = 2$ kW. Se desprecian todos los rozamientos.

a) ¿Cuál es la masa móvil $M$ de la noria, suponiendo que toda ella se encuentra en la periferia, si tarda un tiempo $t_1 = 10$ s en adquirir una velocidad angular $\omega_1 = 0{,}2$ rad/s? (2,5 puntos) b) Cuando un pasajero pasa por la posición más alta, se le cae una moneda del bolsillo. ¿Qué tiempo $t_2$ tardará en llegar al suelo? ¿A qué distancia $d$ cae, medida desde la vertical del punto más alto? (2,5 puntos) c) ¿Qué velocidad angular $\omega_2$ debería tener la noria para que el pasajero se sintiera ingrávido, y en qué posición le ocurriría esto? (2,5 puntos) d) En un momento en que el motor está desconectado y la noria girando a una velocidad $\omega_3 = 0{,}1$ rad/s, un pasajero sube a la noria en marcha dando un pequeño salto lateral desde el andén. Si pesa 50 kg, ¿cuál es la variación de velocidad angular de la noria debida al salto? (2,5 puntos)

Solución

a) Masa de la noria. Toda la masa en la periferia significa momento de inercia de anillo, $I = MR^2$. El trabajo del motor durante los 10 s se invierte íntegramente en energía cinética de rotación (no hay rozamiento y el centro de masas no sube):

$$P\,t_1 = \tfrac{1}{2}I\omega_1^2 = \tfrac{1}{2}MR^2\omega_1^2$$ $$M = \frac{2Pt_1}{R^2\omega_1^2} = \frac{2\cdot 2000\cdot 10}{100\cdot 0{,}04} = \boxed{1{,}0\cdot 10^{4}\ \mathrm{kg}}$$

Diez toneladas: razonable para una noria pequeña.

b) La moneda. La moneda no cae desde el reposo: al soltarse en el punto más alto lleva la velocidad tangencial de la noria, que allí es horizontal:

$$v = \omega_1 R = 0{,}2\cdot 10 = 2{,}0\ \mathrm{m/s}$$

Es, por tanto, un tiro horizontal desde $h = 2R = 20$ m (el punto más alto está a dos radios del suelo, no a uno: otro despiste habitual).

$$t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{40}{9{,}8}} = \boxed{2{,}02\ \mathrm{s}}, \qquad d = v\,t_2 = 2{,}0\cdot 2{,}02 = \boxed{4{,}04\ \mathrm{m}}$$

c) Ingravidez. «Sentirse ingrávido» significa que la fuerza normal del asiento se anula: el peso, y solo el peso, hace de fuerza centrípeta. Eso solo puede ocurrir donde el peso apunta hacia el centro de la trayectoria, es decir en el punto más alto:

$$mg = m\omega_2^2 R \quad\Longrightarrow\quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{R}} = \sqrt{0{,}98} = \boxed{0{,}99\ \mathrm{rad/s}}$$

(unas 9,5 rpm, cinco veces la velocidad del apartado a). En el punto más bajo nunca puede pasar: allí la normal vale $N = mg + m\omega^2R$, siempre mayor que el peso; por eso al pasar por abajo uno se siente más pesado.

d) El pasajero que salta. Con el motor desconectado no hay par exterior respecto al eje, así que se conserva el momento angular. El salto es lateral: el pasajero no aporta momento angular propio, solo su inercia. Subiendo en la periferia (el andén está a distancia $R$ del eje):

$$MR^2\omega_3 = (M + m)R^2\omega' \quad\Longrightarrow\quad \omega' = \omega_3\frac{M}{M+m} = 0{,}1\cdot\frac{10000}{10050}$$ $$\omega' = 0{,}0995\ \mathrm{rad/s} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Delta\omega = -5{,}0\cdot 10^{-4}\ \mathrm{rad/s}}$$

La noria se frena, pero solo un 0,5 %: son 50 kg contra 10 000. El signo negativo es lo que hay que saber justificar —añadir masa aumenta el momento de inercia y, a momento angular constante, la velocidad angular baja—; es el mismo efecto que el patinador que abre los brazos, al revés.