Supuesto 14

Enunciado

Detrás de una lente delgada convergente de 5 dioptrías hay una lámina de caras paralelas normal al eje de la lente. En esas condiciones la imagen de un objeto situado a 50 cm delante de la lente se forma a 36 cm detrás de la misma. Sabiendo que el índice de refracción de la lámina es 3/2:

a) Calcular el espesor de la lámina. (5 puntos) b) Dibujar un esquema de la marcha de los rayos. (5 puntos)

Solución

a) Espesor de la lámina. El problema se resuelve en dos pasos independientes: primero la lente sola, después el desplazamiento que introduce la lámina.

Paso 1: dónde estaría la imagen sin lámina. Con la potencia $P = 5$ D, la focal imagen es $f' = 1/P = 0{,}20$ m $= 20$ cm. Con el convenio DIN ($s = -50$ cm para el objeto):

$$\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{s'} = \frac{1}{20} + \frac{1}{-50} = \frac{5-2}{100}$$ $$s' = 33{,}33\ \mathrm{cm}$$

Paso 2: el desplazamiento de la lámina. Una lámina de caras paralelas de espesor $d$ e índice $n$ no cambia la dirección de un rayo (entra y sale paralelo a sí mismo), pero desplaza la imagen alejándola una distancia

$$\delta = d\left(1 - \frac{1}{n}\right)$$

Es un resultado paraxial que conviene saber deducir: dentro del vidrio el rayo «avanza más despacio» en términos de camino óptico, y el efecto neto equivale a acortar la trayectoria en $d/n$ en lugar de $d$. Como la imagen observada está a 36 cm:

$$\delta = 36 - 33{,}33 = 2{,}67\ \mathrm{cm} = d\left(1 - \frac{2}{3}\right) = \frac{d}{3}$$ $$\boxed{d = 8{,}0\ \mathrm{cm}}$$

Dos comprobaciones de coherencia que conviene decir en voz alta: el desplazamiento es siempre hacia atrás (alejando la imagen de la lente) porque $n > 1$; y no depende de dónde se coloque la lámina entre la lente y la imagen, solo de su espesor y su índice.

b) Marcha de los rayos.

Andalucía 2023 · Problema 2

Lente convergente de 5 D con lámina de caras paralelas

Los dos rayos notables que bastan para construir la imagen:

• El rayo paralelo al eje que, tras atravesar la lente, pasa por el foco imagen $F'$ (a 20 cm).
• El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.

Al entrar en la lámina cada rayo se refracta acercándose a la normal (pasa a un medio más denso ópticamente) y al salir se refracta alejándose el mismo ángulo, de modo que sale paralelo a como entró pero desplazado lateralmente. El resultado neto es que el punto de corte se retrasa: la imagen es real, invertida y menor ($\beta' = s'/s = -0{,}67$), y está 2,67 cm más lejos de lo que estaría sin el vidrio.