Supuesto 4

Un supuesto que utiliza una única colisión frontal para recorrer los tres casos canónicos —perfectamente inelástico, perfectamente elástico y parcialmente inelástico— y separar con claridad dos ideas que el alumnado suele confundir: el momento lineal se conserva siempre en el choque, pero la energía cinética solo lo hace en el caso elástico. El coeficiente de restitución aparece como el parámetro que ordena todos los casos intermedios.

Enunciado

Sobre un riel horizontal, dos deslizadores se mueven prácticamente sin rozamiento. El cuerpo 1, de masa $m_1 = 2{,}0\ \mathrm{kg}$, avanza con velocidad $v_1 = 4{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ y choca frontalmente (colisión unidimensional) con el cuerpo 2, de masa $m_2 = 3{,}0\ \mathrm{kg}$, que está inicialmente en reposo ($v_2 = 0$). Todas las velocidades se miden en el sentido del movimiento inicial del cuerpo 1, tomado como positivo.

Se pide:

• a) Suponiendo que tras el impacto ambos cuerpos quedan unidos (choque perfectamente inelástico), la velocidad común, la energía cinética disipada y la fracción de la energía inicial que se pierde.
• b) Suponiendo que el choque es perfectamente elástico, las velocidades finales de ambos cuerpos. Comprobar que se conserva la energía cinética.
• c) En un ensayo real se mide que el cuerpo 2 sale con $v_2' = 2{,}4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. Determinar la velocidad del cuerpo 1 tras el choque, el coeficiente de restitución y clasificar la colisión. Calcular la energía disipada y comprobar que el resultado es coherente con los apartados anteriores.

Resolución

Principios y magnitudes de partida

En ausencia de fuerzas externas en la dirección del movimiento, el momento lineal del sistema se conserva en cualquier tipo de choque:

La energía cinética inicial del sistema es:

Este valor de $p$ debe reaparecer intacto en los tres apartados; la energía cinética, en cambio, solo se conservará en el caso elástico.

a) Choque perfectamente inelástico

Los cuerpos quedan unidos y se mueven con una velocidad común $v_c$. Conservando el momento lineal:

La energía cinética final y la energía disipada valen:

Se pierde un 60 % de la energía cinética inicial, el máximo posible para estos datos. Como comprobación cruzada, cuando el blanco está en reposo la fracción disipada en un choque perfectamente inelástico es exactamente $m_2/(m_1 + m_2) = 3{,}0/5{,}0 = 0{,}60$, en acuerdo con el cálculo.

b) Choque perfectamente elástico

Ahora se conservan simultáneamente el momento lineal y la energía cinética. Para un choque frontal con el cuerpo 2 en reposo, la resolución del sistema conduce a las expresiones conocidas:

El signo negativo de $v_1'$ indica que el cuerpo 1 rebota hacia atrás, lo que es coherente con que choque contra un cuerpo más masivo ($m_1 < m_2$).

Comprobación del momento lineal:

Comprobación de la energía cinética:

Ambas magnitudes coinciden con las de partida: el choque es efectivamente elástico.

c) Choque real y coeficiente de restitución

El momento lineal se conserva también en el ensayo real. Con $v_2' = 2{,}4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ conocido, se despeja la velocidad del cuerpo 1:

El cuerpo 1 sigue avanzando (más despacio) y no rebota. El coeficiente de restitución es el cociente entre la velocidad relativa de separación y la de aproximación:

Como $0 < e < 1$, la colisión es parcialmente inelástica. La energía cinética final y la disipada son:

Comprobación de coherencia. El coeficiente de restitución vale $e = 0$ en el apartado a) y $e = 1$ en el b); el ensayo real, con $e = 0{,}5$, queda entre ambos extremos. Lo mismo ocurre con la energía disipada: $7{,}2\ \mathrm{J}$ es un valor intermedio entre los $9{,}6\ \mathrm{J}$ del caso perfectamente inelástico y los $0\ \mathrm{J}$ del elástico. Los tres apartados encajan en una misma escala ordenada por $e$.

Comentario didáctico

Este supuesto desarrolla el núcleo del Tema 7: la conservación del momento lineal y su aplicación a los choques. Su principal virtud pedagógica es tratar los tres casos con un único juego de datos, lo que permite al opositor subrayar ante el tribunal que el momento lineal ($8{,}0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$) es el invariante común a las tres situaciones, mientras que la energía cinética distingue entre ellas. El coeficiente de restitución aparece así no como una fórmula aislada, sino como el parámetro que interpola de forma continua entre el choque perfectamente inelástico ($e = 0$) y el elástico ($e = 1$). En el aula conviene insistir en la concepción alternativa más extendida —creer que en toda colisión se conserva la energía— y en el hábito de verificar cada resultado recomponiendo el momento total, una estrategia de autoevaluación que reduce errores de signo y de despeje.