Supuesto 1

El tiro parabólico es el ejemplo canónico de composición de movimientos y el mejor banco de pruebas del principio de independencia de Galileo: un movimiento uniforme horizontal y uno uniformemente acelerado vertical que transcurren sin interferirse. Este supuesto ejercita esa descomposición y cierra cada resultado con una comprobación cruzada.

Enunciado

Desde el suelo se lanza un proyectil con una velocidad inicial $v_0 = 20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ que forma un ángulo $\theta = 30^\circ$ con la horizontal. Se desprecia el rozamiento con el aire y se toma $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Se pide:

• a) Descomponer la velocidad inicial y justificar el planteamiento a partir del principio de independencia de movimientos.
• b) El tiempo total de vuelo hasta que el proyectil vuelve al suelo.
• c) La altura máxima que alcanza.
• d) El alcance horizontal, comprobándolo por dos vías independientes.
• e) La velocidad de impacto (módulo y dirección) y su verificación mediante el principio de conservación de la energía.

Resolución

Descomposición del movimiento

El principio de independencia de Galileo afirma que las componentes horizontal y vertical del movimiento son independientes: la gravedad solo actúa en vertical y no altera la velocidad horizontal. Tomando el origen en el punto de lanzamiento, el eje $x$ horizontal y el eje $y$ vertical hacia arriba, el movimiento se compone de un M.R.U. en $x$ y un M.R.U.A. en $y$ con aceleración $-g$:

Las componentes de la velocidad inicial son:

Obsérvese que el resultado no depende de la masa: la trayectoria queda fijada solo por $v_0$, $\theta$ y $g$.

b) Tiempo de vuelo

En la vertical, el proyectil describe un tiro hacia arriba y regresa a la altura de partida ($y = 0$). Resolviendo $v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2 = 0$ se descarta la solución trivial $t = 0$ y queda:

c) Altura máxima

En el punto más alto la componente vertical de la velocidad se anula, $v_y = v_{0y} - g\,t = 0$, lo que ocurre en $t_s = v_{0y}/g = 1{,}02\ \mathrm{s}$, justo la mitad del tiempo de vuelo, como impone la simetría de la parábola. Sustituyendo, o bien usando $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gH$ con $v_y = 0$:

d) Alcance horizontal

Como en $x$ el movimiento es uniforme, el alcance es la distancia recorrida en el tiempo de vuelo:

Comprobación por la fórmula del alcance. Combinando las expresiones anteriores se obtiene $R = \dfrac{v_0^2\,\sin 2\theta}{g}$, que constituye una vía independiente:

Ambos caminos coinciden. El valor es del orden de magnitud esperable para un lanzamiento a $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (unas decenas de metros).

e) Velocidad de impacto

La componente horizontal se conserva durante todo el vuelo, mientras que la vertical, por simetría, llega al suelo con el mismo módulo que tenía al salir pero con sentido opuesto:

El módulo y el ángulo respecto a la horizontal son:

Comprobación por conservación de la energía. Al despreciarse el rozamiento, la única fuerza es el peso, conservativo. Como el proyectil parte y llega a la misma altura, la energía potencial no varía y toda la energía cinética se conserva:

El módulo de impacto coincide con el de lanzamiento, y el ángulo de caída ($30^\circ$) reproduce el de salida, como exige la simetría de la parábola.

Comentario didáctico

Este supuesto es el vehículo natural para el principio de independencia de movimientos (Tema 4) y permite hacerlo tangible: la coordenada $x$ ignora por completo lo que sucede en $y$. Conviene explicitar en el aula que la masa no interviene —fuente habitual de la concepción alternativa de que “lo más pesado cae antes”— y aprovechar las dos comprobaciones cruzadas como método de autoevaluación: el alcance por doble vía cinemática y la velocidad de impacto por energía. Ese hábito de contrastar un resultado con una segunda estrategia, independiente de la primera, es exactamente la competencia que el opositor debe mostrar y transmitir, más valiosa que memorizar las fórmulas de $H$, $t_v$ y $R$ como recetas aisladas.