Supuesto 39

Enunciado

(1,5 puntos) A un recipiente cilíndrico de radio $R$ y altura $H$, abierto por su parte superior e inicialmente lleno de agua, se le realiza un orificio de radio $r$ en el fondo. Despreciando la viscosidad y las variaciones de presión atmosférica con la altura, determine:

• a) (0,5p) La velocidad de salida del agua cuando el recipiente se ha vaciado a la mitad.
• b) (1p) La expresión matemática del tiempo que tarda en vaciarse y calcule dicho tiempo.

Datos: $R = 10\ \mathrm{cm}$; $r = 4\ \mathrm{cm}$; $H = 70\ \mathrm{cm}$; $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$.

Solución

a) Velocidad de salida a media altura

Aplicando Bernoulli entre la superficie libre (presión atmosférica, altura $h$) y el orificio (presión atmosférica, altura 0), se obtiene el teorema de Torricelli:

$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}35} = 2{,}62\ \mathrm{m/s}$$

Matiz que conviene hacer constar. Torricelli supone que la superficie libre desciende con velocidad despreciable, lo que exige $r \ll R$. Aquí $r/R = 0{,}4$, nada despreciable. Conservando el término de la superficie y usando la continuidad $\pi R^2 v_1 = \pi r^2 v_2$:

$$v = \sqrt{\frac{2gh}{1-(r/R)^4}} = \sqrt{\frac{6{,}86}{0{,}9744}} = 2{,}65\ \mathrm{m/s}$$

La corrección es solo del 1,3 % porque entra a la cuarta potencia, pero señalarla demuestra criterio.

b) Tiempo de vaciado

El caudal que sale iguala a la disminución de volumen en el depósito:

$$\pi R^2\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t} = -\pi r^2\sqrt{2gh} \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}} = -\frac{r^2}{R^2}\sqrt{2g}\,\mathrm{d}t$$

Integrando desde $h = H$ hasta $h = 0$:

$$2\sqrt{H} = \frac{r^2}{R^2}\sqrt{2g}\,t \;\Longrightarrow\; \boxed{\,t = \frac{2R^2}{r^2}\sqrt{\frac{H}{2g}}\,}$$

Numéricamente, con $R^2/r^2 = (10/4)^2 = 6{,}25$:

$$t = 2\cdot 6{,}25\cdot\sqrt{\frac{0{,}70}{19{,}6}} = 12{,}5\cdot 0{,}189 = 2{,}36\ \mathrm{s}$$

(Con la corrección exacta del apartado a, $t = 2{,}36\sqrt{1-(r/R)^4} = 2{,}33\ \mathrm{s}$.) El resultado es un tiempo muy corto precisamente porque el orificio es grande: su área es el 16 % de la del depósito.