Supuesto 37

Enunciado

(2 puntos) Un cuerpo de 6 kg de masa gira apoyado sobre la cara exterior de una superficie cónica y lisa (se desprecia el rozamiento). A su vez, el cuerpo está unido a un resorte de masa despreciable. El ángulo que forma la superficie cónica con su eje es $\alpha = 30^\circ$, y el cuerpo gira a una velocidad angular uniforme de 10 r.p.m. Calcule:

• a) (0,75p) La fuerza que ejerce la superficie cónica sobre el cuerpo y la elongación del resorte.
• b) (0,5p) La velocidad angular mínima a la que debe girar el cuerpo para perder el contacto con la superficie cónica.
• c) (0,75p) La elongación del resorte y el ángulo que forma con la vertical si el cuerpo girase a 15 r.p.m.

Datos: $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$; resorte con $K = 100\ \mathrm{N\,m^{-1}}$ y longitud natural $L_0 = 5\ \mathrm{m}$.

Problema 4

Cuerpo sobre la cara exterior del cono, sujeto por el resorte al vértice

N

mg

T

α

vértice

r = L sen α

Solución

Planteamiento

Sea $L = L_0 + x$ la longitud del resorte (con $x$ la elongación y $T = Kx$ la tensión), medida desde el vértice a lo largo de la generatriz. El radio de la circunferencia que describe el cuerpo es $r = L\,\mathrm{sen}\,\alpha$. Descomponiendo en la dirección radial (positiva hacia fuera) y la vertical (positiva hacia arriba), la normal es perpendicular a la generatriz y vale $\vec N = N(\cos\alpha,\ \mathrm{sen}\,\alpha)$, mientras que la tensión apunta hacia el vértice, $\vec T = T(-\mathrm{sen}\,\alpha,\ \cos\alpha)$. Como el movimiento es circular uniforme, la resultante radial es la centrípeta $-m\omega^2 r$ y la vertical es nula:

$$-T\,\mathrm{sen}\,\alpha + N\cos\alpha = -m\omega^2 L\,\mathrm{sen}\,\alpha$$ $$T\cos\alpha + N\,\mathrm{sen}\,\alpha = mg$$

a) A 10 r.p.m.

$\omega = \dfrac{10\cdot 2\pi}{60} = 1{,}047\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$. Sustituyendo $L = 5 + T/100$ en la primera ecuación y resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$T = 60{,}1\ \mathrm{N}, \qquad N = 13{,}4\ \mathrm{N}$$ $$x = \frac{T}{K} = \frac{60{,}1}{100} = 0{,}601\ \mathrm{m} \;\Longrightarrow\; L = 5{,}60\ \mathrm{m},\quad r = 2{,}80\ \mathrm{m}$$

Comprobación: $m\omega^2 r = 6\cdot 1{,}047^2\cdot 2{,}80 = 18{,}4\ \mathrm{N}$, que coincide con $T\,\mathrm{sen}\,\alpha - N\cos\alpha = 30{,}07 - 11{,}63 = 18{,}4\ \mathrm{N}$. La fuerza que la superficie ejerce sobre el cuerpo es de 13,4 N y el resorte se estira 60,1 cm.

b) Velocidad angular para despegar

El cuerpo pierde el contacto cuando $N = 0$. Entonces la vertical da directamente

$$T = \frac{mg}{\cos\alpha} = \frac{58{,}8}{0{,}866} = 67{,}9\ \mathrm{N} \;\Longrightarrow\; L = 5 + 0{,}679 = 5{,}68\ \mathrm{m}$$

y la radial, $T\,\mathrm{sen}\,\alpha = m\omega^2 L\,\mathrm{sen}\,\alpha$, es decir $T = m\omega^2 L$:

$$\omega_\text{mín} = \sqrt{\frac{T}{mL}} = \sqrt{\frac{67{,}9}{6\cdot 5{,}68}} = 1{,}41\ \mathrm{rad\,s^{-1}} = 13{,}5\ \mathrm{r.p.m.}$$

c) A 15 r.p.m.

Como $15 > 13{,}5\ \mathrm{r.p.m.}$, el cuerpo ya ha despegado de la superficie: se comporta como un péndulo cónico sostenido solo por el resorte, que forma un ángulo $\theta$ con la vertical (necesariamente $\theta > \alpha$). Con $\omega = 1{,}571\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$:

$$T\cos\theta = mg, \qquad T\,\mathrm{sen}\,\theta = m\omega^2 L\,\mathrm{sen}\,\theta \;\Longrightarrow\; T = m\omega^2 L$$

Igualando con la ley de Hooke, $K(L - L_0) = m\omega^2 L$:

$$L = \frac{K L_0}{K - m\omega^2} = \frac{100\cdot 5}{100 - 6\cdot 2{,}467} = 5{,}87\ \mathrm{m} \;\Longrightarrow\; x = 0{,}87\ \mathrm{m}$$ $$T = m\omega^2 L = 86{,}9\ \mathrm{N}, \qquad \cos\theta = \frac{mg}{T} = \frac{58{,}8}{86{,}9} = 0{,}677 \;\Longrightarrow\; \theta = 47{,}4^\circ$$

Efectivamente $47{,}4^\circ > 30^\circ$, lo que confirma que el cuerpo está separado del cono. Nótese además que la expresión de $L$ diverge si $m\omega^2 \to K$: por encima de $\omega = \sqrt{K/m} = 4{,}08\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ el resorte no podría sostener el giro.