Supuesto 36

Enunciado

(1,6 puntos) Un cuerpo esférico sólido y homogéneo, de radio $2R$ y masa $M$, se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal con fricción que le permite rodar sin deslizamiento. Desde su interior, atravesado por una guía hueca rígida, emerge un filamento flexible que se extiende lateralmente hacia una estructura giratoria fija: un disco acanalado de masa $M$ y radio $R$, montado sobre un eje que le permite rotar libremente en un plano vertical. Del extremo libre del filamento cuelga una carga puntual de igual masa que el disco. Determine la aceleración del centro de masas de la esfera cuando el sistema empiece a moverse, en función de $M$, $R$ y $g$.

Ejercicio 3

Esfera (2R, M) tirada desde su centro, polea-disco (R, M) y carga colgante (M)

M, 2R

M, R

M

T₁

T₂

f (rozamiento)

Solución

Sea $a$ la aceleración del centro de la esfera. Como el hilo es inextensible y sale por el centro de la esfera, ese mismo $a$ es el de la periferia de la polea y el de la carga colgante.

Esfera ($M$, radio $2R$, rodadura sin deslizamiento). La tensión $T_1$ actúa en el centro de masas, así que no produce par; el único par respecto al centro lo da el rozamiento $f$ en el punto de contacto. Con $I = \tfrac{2}{5}M(2R)^2 = \tfrac{8}{5}MR^2$ y la condición de rodadura $\alpha = a/(2R)$:

$$\text{traslación:}\quad T_1 + f = Ma; \qquad \text{rotación:}\quad -f\,(2R) = I\,\alpha = \tfrac{8}{5}MR^2\cdot\frac{a}{2R}$$

de donde $f = -\tfrac{2}{5}Ma$ (el rozamiento apunta hacia atrás) y

$$T_1 = Ma - f = Ma + \tfrac{2}{5}Ma = \tfrac{7}{5}Ma$$

Polea-disco ($M$, radio $R$, $I = \tfrac{1}{2}MR^2$).

$$(T_2 - T_1)R = \tfrac{1}{2}MR^2\cdot\frac{a}{R} \;\Longrightarrow\; T_2 - T_1 = \tfrac{1}{2}Ma$$

Carga colgante ($M$).

$$Mg - T_2 = Ma \;\Longrightarrow\; T_2 = M(g-a)$$

Combinando las tres:

$$M(g-a) - \tfrac{7}{5}Ma = \tfrac{1}{2}Ma \;\Longrightarrow\; Mg = Ma\left(1 + \tfrac{7}{5} + \tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{29}{10}Ma$$ $$\boxed{\;a = \frac{10\,g}{29} = 0{,}345\,g \approx 3{,}38\ \mathrm{m\,s^{-2}}\;}$$

Dos comentarios que conviene hacer explícitos: el resultado no depende ni de $M$ ni de $R$ (todas las masas son iguales y los radios se cancelan con las condiciones de rodadura), y el denominador $29/10$ se lee como la suma de las «masas efectivas»: $1$ de la carga, $7/5$ de la esfera que rueda y $1/2$ del disco.