Supuesto 35

Enunciado

(1,7 puntos) Una grúa gira con velocidad angular constante $\omega_1$ según su eje vertical, a la vez que su brazo AB de longitud $L$ se eleva muy lentamente con una velocidad angular constante $\omega_2$. La masa $M$ situada en la vertical que pasa por B sube respecto al brazo con velocidad constante $v$. Se pide, por movimiento relativo:

• a) (30 %) La velocidad absoluta de la masa $M$.
• b) (70 %) La aceleración absoluta de la masa $M$.

Solución

Modelo adoptado. El enunciado no acompaña figura, así que fijamos el sistema explícitamente: origen en A (pie del brazo), $\hat k$ vertical hacia arriba, $\hat\imath$ en la dirección de la proyección horizontal del brazo en el instante considerado y $\hat\jmath = \hat k\times\hat\imath$. El brazo forma un ángulo $\phi$ con la horizontal, de modo que $\vec r_B = L(\cos\phi,\,0,\,\mathrm{sen}\,\phi)$, y la carga cuelga de B a una distancia $d$, con $\vec r_M = (x,\,0,\,z)$, $x = L\cos\phi$, $z = L\,\mathrm{sen}\,\phi - d$. El sólido de arrastre es la estructura de la grúa y el movimiento relativo es el izado, vertical y de módulo constante $v$: $\vec v_\text{rel} = v\,\hat k$, $\vec a_\text{rel} = \vec 0$.

Velocidad angular de arrastre. La grúa gira alrededor de la vertical con $\omega_1$ y el brazo se eleva alrededor del eje horizontal perpendicular a su plano vertical con $\omega_2$ (el signo negativo corresponde a que $\phi$ crece):

$$\vec\Omega = \omega_1\hat k - \omega_2\hat\jmath$$

Como $\hat\jmath$ acompaña al giro de la grúa, $\dfrac{\mathrm{d}\hat\jmath}{\mathrm{d}t} = \omega_1\hat k\times\hat\jmath = -\omega_1\hat\imath$, y por tanto

$$\dot{\vec\Omega} = \omega_1\omega_2\,\hat\imath$$

a) Velocidad absoluta

$$\vec v_\text{abs} = \underbrace{\vec\Omega\times\vec r_M}_{\text{arrastre}} + \vec v_\text{rel} = (-\omega_2 z,\ \ \omega_1 x,\ \ \omega_2 x) + (0,0,v)$$ $$\boxed{\;\vec v_\text{abs} = -\omega_2 z\,\hat\imath + \omega_1 x\,\hat\jmath + (\omega_2 x + v)\,\hat k\;}$$

Cada término tiene lectura física directa: $\omega_1 x$ es la velocidad tangencial por el giro de la grúa; $\omega_2 x$ es el ascenso por la elevación del brazo, que se suma al izado $v$; y $-\omega_2 z$ es el acercamiento horizontal al eje, también por la elevación.

b) Aceleración absoluta

$$\vec a_\text{abs} = \underbrace{\dot{\vec\Omega}\times\vec r_M + \vec\Omega\times(\vec\Omega\times\vec r_M)}_{\text{arrastre}} + \underbrace{2\vec\Omega\times\vec v_\text{rel}}_{\text{Coriolis}} + \underbrace{\vec a_\text{rel}}_{=\,0}$$

Término a término:

$$\dot{\vec\Omega}\times\vec r_M = (0,\ -\omega_1\omega_2 z,\ 0)$$ $$\vec\Omega\times(\vec\Omega\times\vec r_M) = \big(-(\omega_1^2+\omega_2^2)x,\ -\omega_1\omega_2 z,\ -\omega_2^2 z\big)$$ $$2\vec\Omega\times\vec v_\text{rel} = (-2\omega_2 v,\ 0,\ 0)$$

Sumando:

$$\boxed{\;\vec a_\text{abs} = -\big[(\omega_1^2+\omega_2^2)x + 2\omega_2 v\big]\hat\imath \; - \;2\omega_1\omega_2 z\,\hat\jmath \; - \;\omega_2^2 z\,\hat k\;}$$

El término $-2\omega_2 v\,\hat\imath$ es la aceleración de Coriolis, que aparece precisamente porque la carga se mueve (izado) dentro de un sistema que rota: es la responsable de que la carga tienda a «adelantarse» respecto del brazo, un efecto muy real en las grúas y la razón de que se icen las cargas con el giro detenido siempre que es posible.