Supuesto 2

Un supuesto clásico de mecánica que integra la dinámica de la partícula (segunda ley de Newton con rozamiento) y el balance de energía. Permite discutir el papel del rozamiento como fuerza no conservativa y una concepción alternativa frecuente del alumnado: creer que un cuerpo lanzado hacia arriba por un plano siempre desliza de vuelta.

Enunciado

Un bloque de masa $m = 2{,}0\ \mathrm{kg}$ se lanza hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo $\theta = 30^\circ$ con la horizontal, con una velocidad inicial $v_0 = 6{,}0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ desde la base. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $\mu = 0{,}20$ (supóngase el mismo valor para el rozamiento estático y el cinético). Tómese $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$.

Se pide:

• a) La aceleración del bloque durante la subida.
• b) La distancia que recorre por el plano hasta detenerse.
• c) Razonar si el bloque vuelve a descender y, en caso afirmativo, calcular su aceleración de bajada.
• d) La velocidad con que regresa a la base y la energía disipada por el rozamiento en todo el recorrido. Comprobar el resultado mediante un balance de energía.

Resolución

Análisis de fuerzas

Sobre el bloque actúan el peso $m\vec{g}$, la normal $\vec{N}$ y la fuerza de rozamiento $\vec{f}$. Proyectando sobre unos ejes paralelo y perpendicular al plano, la normal equilibra la componente perpendicular del peso:

$$N = mg\cos\theta, \qquad f = \mu N = \mu mg\cos\theta$$

El rozamiento se opone siempre al movimiento, de modo que cambia de sentido entre la subida y la bajada; la componente del peso a lo largo del plano, $mg\sin\theta$, apunta siempre hacia la base.

a) Aceleración de subida

Durante la subida el bloque asciende, así que el rozamiento apunta hacia abajo del plano, en el mismo sentido que $mg\sin\theta$. La segunda ley de Newton da un frenado:

$$a_\text{sub} = g(\sin\theta + \mu\cos\theta) = 9{,}8\,(0{,}500 + 0{,}20\cdot 0{,}866) = 6{,}60\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

b) Distancia hasta detenerse

Es un movimiento uniformemente decelerado; con $v^2 = v_0^2 - 2\,a_\text{sub}\,d$ y condición final $v = 0$:

$$d = \frac{v_0^2}{2\,a_\text{sub}} = \frac{6{,}0^2}{2\cdot 6{,}60} = 2{,}73\ \mathrm{m}$$

c) ¿Desciende? Aceleración de bajada

El bloque desliza de vuelta solo si la componente del peso supera al rozamiento estático máximo, es decir, si $mg\sin\theta > \mu mg\cos\theta$, lo que equivale a $\tan\theta > \mu$. Como $\tan 30^\circ = 0{,}58 > 0{,}20$, el bloque desciende.

Ahora el bloque baja, luego el rozamiento apunta hacia arriba del plano, oponiéndose a $mg\sin\theta$:

$$a_\text{baj} = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 9{,}8\,(0{,}500 - 0{,}20\cdot 0{,}866) = 3{,}20\ \mathrm{m\,s^{-2}}$$

d) Velocidad de regreso y energía disipada

Partiendo del reposo y recorriendo la misma distancia $d$ de bajada:

$$v = \sqrt{2\,a_\text{baj}\,d} = \sqrt{2\cdot 3{,}20\cdot 2{,}73} = 4{,}18\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$

Regresa, pues, con menos velocidad que la de lanzamiento: parte de la energía mecánica se ha disipado. El rozamiento actúa sobre el recorrido total de ida y vuelta, $2d$:

$$W_\text{roz} = f\cdot 2d = \mu mg\cos\theta \cdot 2d = 0{,}20\cdot 2{,}0\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 \cdot 5{,}46 = 18{,}5\ \mathrm{J}$$

Comprobación por balance de energía. Como el bloque parte y regresa a la base (misma altura), toda la variación de energía cinética se debe al trabajo del rozamiento:

$$\Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_0^2 - \tfrac{1}{2}mv^2 = 36{,}0 - 17{,}5 = 18{,}5\ \mathrm{J}$$

El resultado coincide con $W_\text{roz}$, lo que valida los cálculos.

Comentario didáctico

Este supuesto conecta con los temas de dinámica (Tema 5) y energía (Tema 14) del temario. Es idóneo para evidenciar dos aspectos: (1) que el rozamiento, al invertir su sentido, hace que las aceleraciones de subida y bajada sean distintas, y (2) que el rozamiento es una fuerza no conservativa cuyo trabajo mide directamente la energía mecánica perdida. La doble vía de resolución —cinemática y energética— permite al opositor mostrar dominio de ambos enfoques y proponer al alumnado la comprobación cruzada como estrategia de autoevaluación.