Supòsit 55

Enunciat

En un experiment de laboratori es cultiva un llevat en un sistema tancat de 4,0 L a 305 K. El llevat metabolitza un compost orgànic soluble, segons la reacció global simplificada:

$$\ce{C4H10O4(aq) + O2(g) -> CO2(g) + H2O(l)}$$

Inicialment, el sistema conté 0,080 mol de $\ce{C4H10O4}$, 0,30 mol de $\ce{O2}$ i 0,70 mol de $\ce{N2}$.

a) Determina quin és el reactiu limitant. (4 punts) b) Determina la composició final en mols de la mescla gasosa. (4 punts) c) Calcula la pressió total final del sistema i les pressions parcials de cada gas. (4 punts) d) Posteriorment, el $\ce{CO2}$ produït es posa en contacte amb una dissolució aquosa en què es dissol completament. Determina la nova pressió total del sistema gasós després de la desaparició del $\ce{CO2}$. (3 punts) e) Explica qualitativament: 1. Com afecta la presència de $\ce{N2}$ la pressió total? 2. Per què el fet que els mols de $\ce{CO2}$ produïts i d'$\ce{O2}$ consumits siguen diferents afecta l'evolució de la pressió del sistema? (2 i 3 punts)

(Dades: $R = 0{,}082$ atm·L·mol⁻¹·K⁻¹)

Solució

Pas zero, que l'enunciat no demana però és imprescindible: ajustar. L'equació tal com ve escrita no està ajustada. Amb $\ce{C4H10O4}$:

$$\ce{C4H10O4(aq) + 9/2 O2(g) -> 4 CO2(g) + 5 H2O(l)}$$

o bé $\ce{2 C4H10O4 + 9 O2 -> 8 CO2 + 10 H2O}$. Comprovació d'oxígens: $4 + 9 = 13$ a l'esquerra, $8 + 5 = 13$ a la dreta. ✔

a) Reactiu limitant. Els 0,080 mol de substrat necessitarien $0{,}080 \cdot \tfrac{9}{2} = 0{,}360$ mol de $\ce{O2}$, i només n'hi ha 0,30. Per tant l'oxigen és el reactiu limitant (i el substrat, l'excés). És el que passa de veritat en un cultiu tancat: el llevat es queda sense oxigen molt abans que sense sucre, i per això passa a fermentar.

b) Composició final. L'avanç de reacció el fixa l'oxigen: $\xi = 0{,}30/4{,}5 = 6{,}67\cdot 10^{-2}$ mol.

| Espècie | Inicial (mol) | Final (mol) | Fase | | -------------- | ------------- | ----------- | ----------- | | $\ce{C4H10O4}$ | 0,080 | 0,0133 | aquosa | | $\ce{O2}$ | 0,30 | 0 | gas | | $\ce{CO2}$ | 0 | 0,267 | gas | | $\ce{H2O}$ | — | 0,333 | líquida | | $\ce{N2}$ | 0,70 | 0,70 | gas (inert) |

A la mescla gasosa només hi queden $0{,}267 + 0{,}70 = 0{,}967$ mol: ni el substrat (aquós) ni l'aigua (líquida) hi compten.

c) Pressions. Amb $RT/V = 0{,}082\cdot 305/4{,}0 = 6{,}253$ atm·mol⁻¹:

$$p_{\text{total}} = \frac{n_{\text{gas}}RT}{V} = 0{,}9667 \cdot 6{,}253 = \boxed{6{,}04\ \mathrm{atm}}$$ $$p(\ce{CO2}) = 0{,}2667\cdot 6{,}253 = 1{,}67\ \mathrm{atm}, \qquad p(\ce{N2}) = 0{,}70\cdot 6{,}253 = 4{,}38\ \mathrm{atm}$$

que sumen 6,04 atm, com mana la llei de Dalton.

d) Després de dissoldre el $\ce{CO2}$. Només queda el nitrogen:

$$p_{\text{total}} = p(\ce{N2}) = \boxed{4{,}38\ \mathrm{atm}}$$

La pressió cau un 28 %.

e) Raonament qualitatiu.

1. El $\ce{N2}$ i la pressió total. El nitrogen no reacciona, però ocupa volum i xoca contra les parets: aporta la seua pressió parcial (4,38 atm, el 72 % del total) a la suma de Dalton. Ara bé, com que la seua quantitat no canvia, no influeix gens en la variació de pressió deguda a la reacció: actua com un pedestal constant. Si aquesta fos una reacció en equilibri, tampoc no el desplaçaria a volum constant.
2. Per què la pressió baixa. Per cada 4,5 mol d'$\ce{O2}$ consumits només se'n produeixen 4 de $\ce{CO2}$: $\Delta n_{\text{gas}} = 4 - 4{,}5 = -0{,}5$ per mol de substrat. El motiu és que cinc dels productes se'n van en fase líquida (l'aigua) i el substrat era aquós. En números: es passa de $0{,}30 + 0{,}70 = 1{,}00$ mol de gas a 0,967, i la pressió baixa de 6,25 a 6,04 atm (un 3,3 %). Si la relació hagués estat 1:1 —com en la respiració de la glucosa— la pressió s'hauria mantingut constant. Aquesta és, de fet, la base dels respiròmetres: es mesura el consum d'oxigen absorbint el $\ce{CO2}$ amb $\ce{KOH}$ i observant la caiguda de pressió, exactament l'apartat d).