Supòsit 54

Enunciat

Tenim dues esferes homogènies, A i B, que estan suspeses dels extrems d'una vareta rígida, horitzontal, de longitud 30 cm i massa negligible. La vareta pot girar al voltant d'un pivot situat entre elles. L'esfera A té un volum tres vegades major que l'esfera B i una densitat 4 vegades major que la de l'aigua. L'esfera B té una densitat 6 vegades major que la de l'aigua.

a) Determina la posició del pivot en l'aire respecte de l'esfera A perquè el sistema estiga en equilibri. (6 punts) b) Si el sistema se submergeix completament en aigua, determina la posició del pivot perquè es mantinga en equilibri. (6 punts) c) Quina relació han de complir les densitats de les dues esferes perquè la posició del punt d'equilibri no canvie quan el sistema passa d'estar en l'aire a estar completament submergit en un fluid? (8 punts)

(Dades: $\rho_{\text{aigua}} = 1000$ kg·m⁻³)

Solució

Anomenem $V_B = V$ i $\rho_w$ la densitat de l'aigua. De l'enunciat, $V_A = 3V$, $\rho_A = 4\rho_w$ i $\rho_B = 6\rho_w$, de manera que les masses són

$$m_A = \rho_A V_A = 12\rho_w V, \qquad m_B = \rho_B V_B = 6\rho_w V \quad\Longrightarrow\quad m_A = 2m_B$$

L'esfera A és menys densa però més gran, i guanya: pesa el doble.

a) Pivot en l'aire. Condició d'equilibri de moments respecte del pivot, amb $d_A + d_B = 0{,}30$ m:

$$m_A g\,d_A = m_B g\,d_B \quad\Longrightarrow\quad 2d_A = 0{,}30 - d_A$$ $$\boxed{d_A = 0{,}10\ \mathrm{m} = 10\ \mathrm{cm}} \qquad (d_B = 20\ \mathrm{cm})$$

El pivot està més a prop de l'esfera pesada, com toca.

b) Pivot submergit en aigua. Ara, sobre cada esfera actua a més l'empenyiment d'Arquimedes $E = \rho_w V g$ cap amunt. El que compta és el pes aparent:

$$P'_A = (\rho_A - \rho_w)V_A\,g = (4-1)\rho_w\cdot 3V g = 9\rho_w V g$$ $$P'_B = (\rho_B - \rho_w)V_B\,g = (6-1)\rho_w\cdot V g = 5\rho_w V g$$

La relació ha passat de $12{:}6 = 2{,}00$ a $9{:}5 = 1{,}80$: l'esfera A, en ser més voluminosa, rep molta més empenta i perd avantatge. Imposant de nou l'equilibri, $9d_A = 5(0{,}30 - d_A)$:

$$14\,d_A = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{d_A = 0{,}107\ \mathrm{m} = 10{,}7\ \mathrm{cm}}$$

$(d_B = 19{,}3$ cm$)$. El pivot s'ha d'allunyar 7 mm de l'esfera A. Cal insistir que ambdues esferes s'enfonsen ($\rho > \rho_w$): l'empenyiment no les aixeca, només alleugereix el pes aparent.

c) Condició perquè el pivot no canvie. Escrivim les dues condicions amb símbols. En l'aire, $d_A/d_B = \rho_B V_B/(\rho_A V_A)$; submergit en un fluid de densitat $\rho_f$, $d_A/d_B = (\rho_B - \rho_f)V_B/[(\rho_A - \rho_f)V_A]$. Perquè el pivot no es moga, les dues expressions han de coincidir. Els volums es cancel·len i queda

$$\frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{\rho_B - \rho_f}{\rho_A - \rho_f} \;\Longrightarrow\; \rho_A\rho_B - \rho_B\rho_f = \rho_A\rho_B - \rho_A\rho_f \;\Longrightarrow\; \rho_A\rho_f = \rho_B\rho_f$$ $$\boxed{\rho_A = \rho_B}$$

Les dues esferes han de tenir la mateixa densitat, siguen quins siguen els seus volums i siga quin siga el fluid. La lectura física és elegant: si les densitats coincideixen, l'empenyiment redueix el pes aparent de cada esfera en la mateixa proporció, i una proporció comuna no altera l'equilibri de moments. Si difereixen, l'esfera menys densa és sempre la més perjudicada.