Supòsit 52

Enunciat

La nau Orion spacecraft, en el marc de la missió Artemis III, es considera en òrbita circular al voltant de la Lluna a una altura de 100 km sobre la seva superfície.

a) Calcula la velocitat orbital de la nau. (5 punts) b) Determina el període de revolució. (4 punts) c) Troba l'energia mecànica per unitat de massa. (4 punts) d) Calcula la velocitat d'escapament des de l'òrbita en què es troba la nau. (4 punts) e) En realitat, l'òrbita de la nau és el·líptica. Raona, sense fer càlculs, com serà la velocitat de la nau: en el punt més proper a la Lluna i en el punt més llunyà. (3 punts)

(Dades: $R_L = 1{,}74\cdot 10^{6}$ m; $M_L = 7{,}35\cdot 10^{22}$ kg; $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}$ N·m²/kg²)

Solució

El primer pas, i el que més errades provoca: el radi de l'òrbita es mesura des del centre de la Lluna, no des de la superfície.

$$r = R_L + h = 1{,}74\cdot 10^{6} + 1{,}00\cdot 10^{5} = 1{,}84\cdot 10^{6}\ \mathrm{m}$$ $$GM_L = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22} = 4{,}902\cdot 10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$$

a) Velocitat orbital. Igualant la força gravitatòria amb la centrípeta, $GM_Lm/r^2 = mv^2/r$, la massa de la nau se'n va (per això no la dona l'enunciat):

$$v = \sqrt{\frac{GM_L}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{1{,}84\cdot 10^{6}}} = 1{,}63\cdot 10^{3}\ \mathrm{m/s}$$

Uns 5 900 km/h, quatre vegades menys que en òrbita baixa terrestre.

b) Període.

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 1{,}84\cdot 10^{6}}{1632{,}3} = 7{,}08\cdot 10^{3}\ \mathrm{s} = \boxed{1{,}97\ \mathrm{h}}$$

és a dir 118 minuts per volta. S'hi pot arribar igual per la tercera llei de Kepler, $T^2 = 4\pi^2r^3/GM_L$.

c) Energia mecànica per unitat de massa. En òrbita circular, $E_c = -E_p/2$, de manera que

$$\frac{E_m}{m} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM_L}{r} = -\frac{GM_L}{2r} = -1{,}33\cdot 10^{6}\ \mathrm{J/kg}$$

Negativa, com ha de ser en un sistema lligat: per alliberar la nau caldria aportar-li aquesta energia.

d) Velocitat d'escapament des de l'òrbita. S'obté imposant $E_m = 0$:

$$\tfrac{1}{2}v_e^2 = \frac{GM_L}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM_L}{r}} = \sqrt{2}\,v = 2{,}31\cdot 10^{3}\ \mathrm{m/s}$$

La relació $v_e = \sqrt{2}\,v_{\text{orbital}}$ val sempre per a qualsevol òrbita circular, i és una comprovació immediata. Caldria, doncs, un increment de velocitat de només $2308 - 1632 = 676$ m/s per escapar de la Lluna des d'aquesta òrbita.

e) Òrbita el·líptica. Per la segona llei de Kepler (llei de les àrees), el radiovector escombra àrees iguals en temps iguals; equivalentment, el moment angular es conserva perquè la gravetat és una força central. Per tant, allà on $r$ és petit la velocitat ha de ser gran:

• Al periluni (punt més proper): velocitat màxima.
• A l'apoluni (punt més llunyà): velocitat mínima.

Es pot dir també des de l'energia: $E_m$ es conserva, i com que a prop de la Lluna $E_p$ és més negativa, l'energia cinètica hi ha de ser més gran.