Supòsit 5

Un supòsit d'estàtica de fluids que integra la pressió hidrostàtica, la relació entre densitat i fracció submergida i el principi d'Arquimedes. Ofereix diverses comprovacions creuades —en especial la deducció de l'empenta com a diferència de forces de pressió sobre les cares— molt formatives per a l'aula.

Enunciat

Un bloc cúbic homogeni d'aresta $a = 0{,}20\ \mathrm{m}$ i massa $m = 5{,}6\ \mathrm{kg}$ es diposita en un recipient amb aigua ($\rho_{\text{aigua}} = 1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$), on flota en equilibri. Preneu $g = 9{,}8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ i la pressió atmosfèrica $p_{\text{atm}} = 1{,}013\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$.

Es demana:

• a) La densitat del material del bloc.
• b) La fracció del volum que queda submergida en flotar i l'altura de bloc que emergeix sobre la superfície.
• c) La força vertical addicional necessària per a mantenir-lo completament submergit. Comprovar el resultat a partir del volum emergit.
• d) Amb el bloc totalment submergit i subjectat de manera que la seua cara superior quede a $1{,}0\ \mathrm{m}$ de profunditat, la pressió manomètrica i absoluta sobre la seua cara inferior i les forces que l'aigua exerceix sobre les cares superior i inferior. Comprovar que la seua diferència reprodueix l'empenta.

Resolució

Dades geomètriques

El volum i la secció del cub són:

$$V = a^3 = (0{,}20)^3 = 8{,}0\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}, \qquad A = a^2 = 0{,}040\ \mathrm{m^2}$$

i el seu pes, $P = mg = 5{,}6\cdot 9{,}8 = 54{,}9\ \mathrm{N}$.

a) Densitat del material

Per definició de densitat:

$$\rho_{\text{c}} = \frac{m}{V} = \frac{5{,}6}{8{,}0\times 10^{-3}} = 700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$$

És menor que la de l'aigua, condició necessària perquè el bloc flote.

b) Fracció submergida i altura emergida

En l'equilibri de flotació el pes iguala l'empenta de l'aigua desplaçada per la part submergida, $mg = \rho_{\text{aigua}}\, V_{\text{sub}}\, g$. Substituint $m = \rho_{\text{c}} V$:

$$\frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_{\text{c}}}{\rho_{\text{aigua}}} = \frac{700}{1000} = 0{,}70$$

és a dir, el $70\%$ del volum queda sota l'aigua. Com que el bloc és un prisma de secció constant, la fracció d'altura coincideix amb la de volum:

$$h_{\text{sub}} = 0{,}70\cdot a = 0{,}14\ \mathrm{m}, \qquad h_{\text{em}} = a - h_{\text{sub}} = 0{,}06\ \mathrm{m}$$

c) Força per a submergir-lo completament

Quan el cub està totalment submergit desplaça tot el seu volum, i l'empenta assoleix el seu valor màxim:

$$E = \rho_{\text{aigua}}\, V\, g = 1000\cdot 8{,}0\times 10^{-3}\cdot 9{,}8 = 78{,}4\ \mathrm{N}$$

Com que $E$ és major que $P$, per a mantenir-lo submergit cal aplicar una força cap avall:

$$F = E - P = 78{,}4 - 54{,}9 = 23{,}5\ \mathrm{N}$$

Comprovació pel volum emergit. Aquesta força extra equival al pes de l'aigua que desplaçaria la porció que abans sobreeixia:

$$V_{\text{em}} = A\, h_{\text{em}} = 0{,}040\cdot 0{,}06 = 2{,}4\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$$ $$F = \rho_{\text{aigua}}\, V_{\text{em}}\, g = 1000\cdot 2{,}4\times 10^{-3}\cdot 9{,}8 = 23{,}5\ \mathrm{N}$$

El resultat coincideix, cosa que valida el càlcul.

d) Pressió i forces sobre les cares

Amb la cara superior a $z_{\text{sup}} = 1{,}0\ \mathrm{m}$, la cara inferior queda a $z_{\text{inf}} = z_{\text{sup}} + a = 1{,}20\ \mathrm{m}$. La pressió manomètrica (hidrostàtica) és $p = \rho_{\text{aigua}}\, g\, z$:

$$p_{\text{sup}} = 1000\cdot 9{,}8\cdot 1{,}00 = 9{,}80\times 10^{3}\ \mathrm{Pa}$$ $$p_{\text{inf}} = 1000\cdot 9{,}8\cdot 1{,}20 = 1{,}176\times 10^{4}\ \mathrm{Pa}$$

La pressió absoluta sobre la cara inferior afegeix l'atmosfèrica:

$$p_{\text{inf}}^{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{inf}} = 1{,}013\times 10^{5} + 1{,}176\times 10^{4} = 1{,}131\times 10^{5}\ \mathrm{Pa}$$

Sobre les cares horitzontals, la pressió atmosfèrica actua per igual a dalt i a baix i es cancel·la, de manera que n'hi ha prou amb usar la pressió manomètrica:

$$F_{\text{inf}} = p_{\text{inf}}\, A = 1{,}176\times 10^{4}\cdot 0{,}040 = 470{,}4\ \mathrm{N}\ (\text{cap amunt})$$ $$F_{\text{sup}} = p_{\text{sup}}\, A = 9{,}80\times 10^{3}\cdot 0{,}040 = 392{,}0\ \mathrm{N}\ (\text{cap avall})$$

Comprovació amb l'empenta. La resultant neta de les forces de pressió és:

$$F_{\text{inf}} - F_{\text{sup}} = 470{,}4 - 392{,}0 = 78{,}4\ \mathrm{N}\ (\text{cap amunt})$$

que coincideix exactament amb l'empenta $E$ de l'apartat c). El principi d'Arquimedes es recupera, així, com a conseqüència directa de la variació de pressió amb la profunditat. Les forces laterals, iguals i oposades dues a dues, no contribueixen a la resultant vertical.

Comentari didàctic

El supòsit s'emmarca en el Tema 10 (estàtica de fluids) i reuneix en un únic problema els tres pilars del bloc: pressió hidrostàtica, densitat i empenta. Dues idees mereixen destacar-se a l'aula. La primera, que la fracció submergida d'un cos que flota és simplement el quocient de densitats $\rho_{\text{c}}/\rho_{\text{aigua}}$, un resultat elegant que permet estimar densitats observant quant asoma un objecte (el fonament del densímetre). La segona, que l'empenta no és un principi aïllat, sinó la conseqüència que la pressió creix amb la profunditat: la cara inferior suporta més pressió que la superior, i la seua diferència, integrada sobre l'àrea, és exactament el pes del fluid desplaçat. Convé a més assenyalar que, una vegada el cos està totalment submergit, l'empenta no depèn de la profunditat a la qual es trobe, un punt que corregeix una concepció alternativa freqüent de l'alumnat. La doble via de comprovació —volum emergit i diferència de pressions— reforça l'hàbit d'autoavaluar els resultats, un criteri molt valorat en l'exposició del supòsit.