Supòsit 57

Context. Institut d'una ciutat gran, tres línies i complexitat alta, amb un percentatge elevat d'alumnat NESE. El curs 23-24 s'imparteix física i química a l'ESO i al batxillerat per separat. El departament organitza una sortida a un parc aquàtic i d'aventura de la mateixa ciutat, a prop d'una zona industrial. El grup és de 25 alumnes: un alumne nouvingut de cultura llunyana, una alumna d'altes capacitats, un altre que rep el suport del CREDA i més de la meitat amb situacions socioeconòmiques i socioculturals desfavorides.

Qüestió prèvia 1 — Els cavallets: MCU i tir parabòlic

Enunciat

Cap al tard, cansats d'atraccions enèrgiques, alguns alumnes decideixen pujar als cavallets. Com a docent penses que en tornar a l'aula hauran de resoldre un exercici com aquest. Uns cavallets de fira giren en MCU. Hi ha 10 cavalls a una distància a l'eix central de 10 m. Cada 10 segons cada cavall ocupa la posició de l'anterior.

a) (1,25 p) Calculeu la velocitat angular en què gira. Té acceleració? En cas afirmatiu, calculeu-la.

b) (1,25 p) Abans de començar a girar, sobre un dels cavalls hi ha un nen que tira el xumet amb un angle de 30° i a una velocitat aproximada de 2 m/s. Considerant que la mare es troba a 3 m del nen i que l'alçada en què es troba el nen és de 85 cm; la mare podrà recollir el xumet instants abans que arribi al terra, sense desplaçar-se?

Solució

a) Velocitat angular i acceleració. La clau és traduir la frase «cada 10 segons cada cavall ocupa la posició de l'anterior»: en 10 s el carrusel avança un buit entre cavalls, i com que n'hi ha 10 repartits uniformement, cada buit val $2\pi/10$ rad. Per tant una volta completa són $10\cdot 10 = 100$ s:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{100} = 6{,}28\cdot 10^{-2}\ \mathrm{rad/s}$$

Sí que té acceleració. En un MCU el mòdul de la velocitat és constant, però la direcció canvia contínuament: hi ha acceleració centrípeta (l'acceleració tangencial és nul·la perquè $|\vec{v}|$ no varia).

$$a_c = \omega^2 R = (6{,}283\cdot 10^{-2})^2 \cdot 10 = 3{,}95\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m/s^2}$$

dirigida cap a l'eix central. La velocitat lineal dels cavalls és $v = \omega R = 0{,}628$ m/s, poc més de 2 km/h: una acceleració de $0{,}0395$ m/s², és a dir 250 vegades menor que $g$, cosa que explica per què els cavallets són l'atracció tranquil·la del parc.

b) El xumet. Tir parabòlic des d'una alçada $h = 0{,}85$ m amb $v_0 = 2$ m/s i $\theta = 30°$. Components inicials:

$$v_{0x} = 2\cos 30° = 1{,}73\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{0y} = 2\sin 30° = 1{,}00\ \mathrm{m/s}$$

El temps de vol s'obté imposant $y = 0$ en $y(t) = 0{,}85 + 1{,}00\,t - \tfrac{1}{2}(9{,}8)t^2$:

$$4{,}9\,t^2 - t - 0{,}85 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1 + \sqrt{1 + 4\cdot 4{,}9\cdot 0{,}85}}{2\cdot 4{,}9} = 0{,}531\ \mathrm{s}$$

(l'altra arrel és negativa i no té sentit físic). L'abast horitzontal és

$$x = v_{0x}\,t = 1{,}732 \cdot 0{,}531 = \boxed{0{,}92\ \mathrm{m}}$$

La mare no el pot recollir sense desplaçar-se: el xumet cau a 92 cm del nen i ella és a 3 m, més del triple de lluny.

I encara hi ha un argument més fort, que és el que convindria remarcar davant del tribunal: amb $v_0 = 2$ m/s cap angle permet arribar als 3 m. L'abast màxim des d'una alçada $h$ val

$$x_{\max} = \frac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2 + 2gh} = \frac{2}{9{,}8}\sqrt{4 + 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}85} = 0{,}93\ \mathrm{m}$$

(assolit amb $\theta \approx 24°$). Per arribar a 3 m caldria llançar-lo a uns 5 m/s. La resposta, doncs, no depèn de l'angle triat: és impossible amb aquesta velocitat.

Catalunya 2024 · Cas 1, qüestió 1b

Trajectòria del xumet

Qüestió prèvia 2 — La pólvora dels focs artificials

Enunciat

A la sortida dels cavallets, mentre contemplen la posta del sol, s'encén un castell de focs artificials. Els colors de la pirotècnia els fa recordar un experiment que van fer al laboratori de Química. Els focs artificials contenen pólvora, un explosiu format per sofre, carboni i nitrats de metalls alcalins o alcalinoterris. Una estequiometria possible de l'explosió és:

$$\ce{10 KNO3(s) + 3 S(s) + 8 C(s) -> 2 K2CO3(s) + 3 K2SO4(s) + 6 CO2(g) + 5 N2(g)}$$

La variació d'entalpia de la reacció és $\Delta H_r = -965$ kcal.

a) (1,25 p) Defineix entalpia estàndard de formació i calcula l'entalpia de formació del $\ce{CO2}$(g). Es tracta d'una reacció endotèrmica o exotèrmica? Justifica la resposta.

b) (1,25 p) En la taula següent es relacionen alguns elements metàl·lics amb el color que emeten quan són excitats a la flama.

| Element | Li | Na | K | Ca | Pb | Cu | | ----------------- | ----------- | ---- | ------- | ------------ | ---- | ---- | | Color de la flama | Roig intens | Groc | Violeta | Roig-taronja | Blau | Verd |

Escriviu les configuracions electròniques del Li, Na, K i Ca i ordeneu aquests elements segons els seus radis atòmics. Justifiqueu els ions més favorables que formaran aquests elements en funció de la seva configuració electrònica.

(Dades: $Z(\ce{Li})=3$; $Z(\ce{Na})=11$; $Z(\ce{K})=19$; $Z(\ce{Ca})=20$; 1 cal = 4,18 J; entalpies estàndard de formació a 25 °C: $\Delta H_f^\circ(\ce{K2CO3}) = -1200$ kJ, $\Delta H_f^\circ(\ce{K2SO4}) = -1400$ kJ, $\Delta H_f^\circ(\ce{KNO3}) = -494$ kJ)

Solució

a) Definició, càlcul i signe.

Entalpia estàndard de formació, $\Delta H_f^\circ$, d'un compost: variació d'entalpia associada a la formació d'un mol d'aquest compost, en el seu estat estàndard, a partir dels elements que el constitueixen en el seu estat més estable en condicions estàndard (1 bar i la temperatura especificada, habitualment 298 K). Per conveni, $\Delta H_f^\circ$ de qualsevol element en el seu estat de referència és zero: per això $\ce{S(s)}$, $\ce{C(s)}$ i $\ce{N2(g)}$ no aporten res al balanç.

Primer, homogeneïtzar unitats. Com que les entalpies de formació venen en kJ i la de reacció en kcal:

$$\Delta H_r = -965\ \mathrm{kcal} \cdot \frac{4{,}18\ \mathrm{kJ}}{1\ \mathrm{kcal}} = -4033{,}7\ \mathrm{kJ}$$

Aplicant la llei de Hess, $\Delta H_r = \sum \Delta H_f^\circ(\text{productes}) - \sum \Delta H_f^\circ(\text{reactius})$:

$$-4033{,}7 = \big[2(-1200) + 3(-1400) + 6\,\Delta H_f^\circ(\ce{CO2}) + 5\cdot 0\big] - \big[10(-494) + 3\cdot 0 + 8\cdot 0\big]$$ $$-4033{,}7 = -6600 + 6\,\Delta H_f^\circ(\ce{CO2}) + 4940 \quad\Longrightarrow\quad 6\,\Delta H_f^\circ(\ce{CO2}) = -2373{,}7$$ $$\boxed{\Delta H_f^\circ(\ce{CO2}) = -395{,}6\ \mathrm{kJ/mol}}$$

Molt a prop del valor tabulat ($-393{,}5$ kJ/mol): la desviació del 0,5 % ve dels valors arrodonits de l'enunciat i del factor $1\ \mathrm{cal} = 4{,}18$ J (l'exacte és 4,184).

La reacció és exotèrmica: $\Delta H_r < 0$, el sistema allibera energia a l'entorn. Era previsible sense calcular res —és una explosió— i és precisament la combinació d'exotermicitat brutal amb producció de 11 mols de gas ($6\ \ce{CO2} + 5\ \ce{N2}$) a partir de sòlids el que fa que la pólvora explote: l'expansió sobtada d'aquest gas calent és l'ona de xoc.

b) Configuracions, radis i ions.

$$\begin{aligned} \ce{Li}\ (Z=3):&\quad 1s^2\,2s^1 \equiv [\ce{He}]\,2s^1 \\ \ce{Na}\ (Z=11):&\quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^1 \equiv [\ce{Ne}]\,3s^1 \\ \ce{K}\ (Z=19):&\quad 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^1 \equiv [\ce{Ar}]\,4s^1 \\ \ce{Ca}\ (Z=20):&\quad [\ce{Ar}]\,4s^2 \end{aligned}$$

Ordre de radis atòmics: $\ce{Li} < \ce{Na} < \ce{Ca} < \ce{K}$ (creixent), és a dir $\ce{K} > \ce{Ca} > \ce{Na} > \ce{Li}$. Els dos criteris que cal combinar:

• Baixant per un grup (Li → Na → K) el radi creix, perquè s'afegeix una capa nova i els electrons interns apantallen la càrrega nuclear: la càrrega nuclear efectiva sobre l'electró de valència es manté quasi igual, però està molt més lluny.
• Avançant per un període (K → Ca) el radi decreix: s'afegeix un protó i un electró a la mateixa capa, l'apantallament amb prou feines canvia, $Z_{\text{ef}}$ puja i el nucli estreny la capa de valència.

Valors experimentals, per si es vol quantificar: Li 152 pm, Na 186 pm, Ca 197 pm, K 227 pm.

Ions més favorables. Tots quatre tenen molt pocs electrons per damunt d'una configuració de gas noble, així que la via barata és perdre'ls, no guanyar-ne sis o set:

$$\ce{Li -> Li+ + e-}\ ([\ce{He}]), \qquad \ce{Na -> Na+ + e-}\ ([\ce{Ne}]), \qquad \ce{K -> K+ + e-}\ ([\ce{Ar}])$$ $$\ce{Ca -> Ca^2+ + 2e-}\ ([\ce{Ar}])$$

Els alcalins formen cations monopositius i el calci, alcalinoterri, dipositiu. El salt entre la primera i la segona energia d'ionització ho confirma: per al $\ce{Na}$, $I_1 = 496$ i $I_2 = 4562$ kJ/mol (arrencar el segon electró trencaria l'octet de $[\ce{Ne}]$), mentre que per al $\ce{Ca}$ el salt gros és entre $I_2$ i $I_3$.

Connexió amb la taula de colors. L'enunciat presenta els colors de flama sense demanar-los explícitament, però és el pont conceptual del cas: la calor de l'explosió promou un electró de valència a un nivell superior i, en desexcitar-se, emet un fotó d'energia $\Delta E = h\nu$ característica de cada element. Com que els nivells són discrets, cada metall dona una longitud d'ona pròpia —el groc del sodi són les línies D a 589 nm— i per això la prova a la flama identifica elements i la pirotècnia tria les sals segons el color desitjat.

Elaboració de la situació d'aprenentatge (Cas 1)

L'enunciat demana: a) (2,5 p) dissenyar una sessió pràctica al laboratori o en altres espais del centre amb l'objectiu d'explicar el tir parabòlic, detallant modalitat d'intervenció, estratègia metodològica, concreció d'activitats i materials, participació de tot l'alumnat, normes de seguretat, gestió de residus i atenció a la diversitat; b) (1 p) concretar els aprenentatges competencials previstos; c) (1,5 p) descriure com s'avaluarà la sessió.

⚠️ Aquesta part és de resposta oberta i val la meitat de la nota. El que segueix és una orientació amb els punts que el tribunal busca, no una situació d'aprenentatge tancada. Cal escriure-la amb criteri propi i, sobretot, ancorada al context concret del cas (25 alumnes, alumne nouvingut de cultura llunyana, alumna d'altes capacitats, alumne amb suport del CREDA i més de la meitat del grup amb situació socioeconòmica desfavorida).

Punts que difícilment poden faltar:

• Ancoratge normativa. Decret 175/2022 (ESO) o 171/2022 (batxillerat) segons el nivell triat, amb competències específiques i criteris d'avaluació citats pel seu codi, no parafrasejats.
• Del context a la pràctica. La sortida al parc ja ha passat: la sessió és la fase d'estructuració del que allà es va viure. Un muntatge de baix cost i alt rendiment és enregistrar amb el mòbil el llançament d'una pilota i analitzar-lo amb Tracker o Phyphox; s'evita així la barrera econòmica (material del centre, treball en equip, cap despesa familiar) i es connecta amb el tractament de dades.
• Atenció a la diversitat, cas per cas. Per a l'alumne amb suport del CREDA (dèficit auditiu): suport visual permanent, subtítols als vídeos, ubicació preferent, consignes escrites. Per a l'alumne nouvingut: vocabulari cientificotècnic il·lustrat, treball en parella amb rol clar, representacions gràfiques abans que verbals. Per a l'alumna d'altes capacitats: tasca d'aprofundiment real (efecte de la resistència de l'aire, comparació del model ideal amb les dades del vídeo, angle òptim de llançament des d'una alçada), no «més exercicis iguals».
• Seguretat i residus. Encara que un tir parabòlic sembli inofensiu: zona de llançament delimitada, projectils tous, ulleres si s'usen dispositius elàstics, i gestió de residus limitada a la separació de piles i material electrònic si s'utilitzen sensors.
• Aprenentatges competencials (apartat b). Formulació d'hipòtesis, disseny experimental, tractament de dades i xifres significatives, ús de models matemàtics per predir, argumentació amb evidències i comunicació de resultats. Convé lligar-los als descriptors operatius del perfil de sortida.
• Avaluació (apartat c). Cal que siga coherent amb els criteris d'avaluació citats i que incloga instruments concrets: rúbrica analítica de l'informe de pràctica compartida amb l'alumnat abans de començar, diana d'autoavaluació del treball en equip, i una tasca d'aplicació final (predir on caurà un projectil i comprovar-ho). Distingir explícitament avaluació formativa i qualificadora.